Ne place matematica !

Exercitii rezolvate cu factorul comun

Prezentam exercitii pe care le rezolvam dand factorul comun, dar si folosind regulile de calcul cu puteri, cat si proprietatile relatiei de divizibilitate.

1. Calculati suma 8+16+24+32___+4000

Daca dam factor comun numarul 8 suma devine:

8+16+24+32+...+4000=8\left(1+2+3+4+...+500\right)

Acum ca sa calculam suma 1+2+3+…+500

Folosim formula 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}

Deci in cazul sumei noastre avem: 1+2+3+4+...+500=\frac{500\cdot\left(500+1\right)}{2}=250\cdot 501=125250

Dar avem de calculat 8\cdot\left(1+2+3+4+...+500\right)=8\cdot 12520=1002000

2. Aflati x, daca 2a+b=5 si 4ax+2bx+2=22

Ca sa aflam x in relatia a doua dam factor comun pe x , dar si pe 2x si obtinem:

4ax+2bx+2=22\Rightarrow 4ax+2bx=22-2\Rightarrow 4ax+2bx=20\Rightarrow 2x\left(2a+b\right)=20\Rightarrow 2x\cdot 5=20\Rightarrow 10x=20\Rightarrow x=20:10\Rightarrow x=2

3. Aratati ca numarul A=2^{n}\cdot 3^{n}\cdot 5^{n}+2^{n}\cdot 15^{n}\cdot 4+3^{n}\cdot 10^{n}\cdot 2\vdots 17, pentru orice n numar natural

Ca sa aratam ca numarul este divizibil cu 17 folosim regulile de calcul cu puteri, adica stim ca a^{n}\cdot b^{n}=\left(a\cdot b\right)^{n}

Astfeln A=\left(2\cdot 3\cdot 5\right)^{n}+\left(2\cdot 15\right)^{n}\cdot 14+\left(3\cdot 10\right)^{n}\cdot 2

Acum efectuam produsul in parantezele pe care le avem mai sus:

A=30^{n}\cdot 1+30^{n}\cdot 14+30^{n}\cdot 2

Acum daca dam factor comun numarul 30^{n}

Si obtinem: A=30^{n}\left(1+14+2\right)=30^{n}\cdot 17\vdots 17

Si obtinem ca este divizibila cu 17, deoarece cu ajutorul proprietatilor de la divizibilitate stim ca:

Daca b|a si m\in N, atunci b|m\cdot a (daca b divide a, atunci b divide orice multiplu al lui a)

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de factor comun, dar si proprietatile relatiei de divizibilitate.