Ne place matematica !

Exercitii rezolvate cu sume de fractii

Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia.

1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

\frac{400}{81}-\frac{399}{81}+\frac{398}{81}-\frac{397}{81}+....+\frac{2}{81}-\frac{1}{81}=  \left(\frac{400}{81}-\frac{399}{81}\right)+\left(\frac{398}{81}-\frac{397}{81}\right)+....+\left(\frac{2}{81}-\frac{1}{81}\right)=\frac{400-399}{81}+\frac{398-397}{81}+...+\frac{2-1}{81}=

\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+...+\frac{1}{81}=

\frac{1+1+...+1}{81}=

\frac{200\cdot 1}{81}=\frac{200}{81}

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

2) Pentru ce numa n\in N, avem

\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{2010}{2011}

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{4\cdot 5}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: ^{\left(n+1\right)}1-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow 2010\left(n+1\right)=2011\cdot n\Rightarrow 2010\cdot n+2010=2011\cdot n\Rightarrow2011\cdot n -2010\cdot n=2010\Rightarrow n=2010

Deci numarul natural gasit este 2010.

3) Rezolvati ecuatia:

\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem: \frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}\Rightarrow \frac{x-2014+2008}{2008}+\frac{x-2014+2012}{2012}=\frac{x-2014+6}{6}+\frac{x-2014+2}{2}\Rightarrow

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{2008}{2008}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{2012}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{6}{6}+\frac{x-2014}{2}+\frac{2}{2}\Rightarrow

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{1}{1}=\frac{x-2014}{6}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2}+\frac{1}{1}\Rightarrow

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori  si astfel se reduc: \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{x-2014}{2}\Rightarrow \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{6}-\frac{x-2014}{2}=0\Rightarrow \left(x-2014\right)\cdot\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)=0

Observam ca \frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}

Si obtinem x-2014=0\Rightarrow x=2014

4) Simplificati fractia: \frac{2+\left(2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2\right)}{4^{1008}}

Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel: 2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2, folosind formula S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia: q=\frac{2^{2013}}{2^{2012}}=2, adica formula q=\frac{b_{n+1}}{b{n}}

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si  stim ca primul termen il notam cu b_{1}=2, iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: 2013, 2012, 2011,....,1, 0

Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem q=2^{1}=2

Astfel suma devine: S=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{2-1}=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{1}=2\cdot 2^{2013}-2\cdot 1

=2^{2014}-2

Iar fractia devine: \frac{2+2^{2014}-2}{4^{1008}}=\frac{2^{2014}}{\left(2^{2}\right)^{1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2\cdot 1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2016}}^{(2^{2014}}=\frac{2^{2014}:2^{2014}}{2^{2016}:2^{2014}}=\frac{2^{2014-2014}}{2^{2016-2014}}=\frac{2^{0}}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: 4^{1008}=\left(2^{2}\right)^{1008}=2^{2\cdot 1008}=2^{2016}, adica am folosit regulile de calcul cu puteri.

Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus.

Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.