Ne place matematica !

Functii injective. Functii surjective. Functii bijective

Dupa ce am invatat notiunea de functie inca din clasa a VIII-a, (cum am definit-o, cum sa calculam graficul unei functii si asa mai departe )acum o sa invatam despre functii injective, functii surjective si functii bijective.

Incepem cu functiile injective

Fie A si B doua multimi nevide

Def:O functie f:A\rightarrow B se numeste injectiva (injectie) daca \forall x_{1}, x_{2}\in A, x_{1}\neq x_{2} avem f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Observatie: Faptul ca f este injectiva mai poate fi exprimat si astfel:

1) daca x_{1} si x_{2} sunt elemente oarecare din A cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right), atunci rezulta ca x_{1}=x_{2}

2) Functia f:A\rightarrow B este injectiva daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel mult o solutie x\in A.

Functii surjective

Def: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva (surjectie) daca pentru oricare y\in B exista $ cel putin un x\in A astfel incat f\left(x\right)=y

Observatie: O functie f:A\rightarrow B este o functie surjectiva, daca \forall y\in B ecuatia f\left(x\right)=y are cel putin o solutie x\in A.

Functii bijective

Def: O functie f:A\rightarrow B care este simultan si injectiva, dar si surjectiva se numeste bijectiva (bijectie).

Exemplu:

1) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=2x+3 sa se arate ca f este bijectie.

Solutie: Pentru a arata ca functia este bijectiva aratam mai intai ca functia f este injectiva si surjectiva.

Injectia: \forall x_{1}, x_{2}\in A fie x_{1}\neq x_{2} trebuie sa obtinem ca f\left(x_{1}\right)\neq f\left(x_{2}\right)

Astfel obtinem: f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow 2x_{1}+3-2x_{2}-3=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\neq 0 deci f este injectiva.

Surjectivitatea

Fie y\in R exista cel putin un x\in R astfel incat f\left(x\right)=y\Rightarrow 2x+3=y\Rightarrow 2x=y-3\Rightarrow x=\frac{y-3}{2}. Deci \forall \in R \exists x=\frac{y-3}{2}\in R si astfel obtinem ca f este surjectiva.

Cum f este simultan si injectiva si surjectiva rezulta ca f este bijectiva.

2) Sa se arate ca functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-5x+2 este inversabila si sa i se determine inversa.

Ca sa aratam ca o functie este inversabila trebuie sa stim ce inseamna.

Def: O functi f: A\rightarrow B se numeste inversabila daca exista o functie g:B\rightarrow A astfel incat g\circ f= 1_{A} si f\circ g=1_{B}. Functia g, daca exista este unica si se numeste inversa functiei f si se noteaza f^{-1}.

Teorema: O functie f:A\rightarrow B este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Ca sa aratam ca este inversabila aratam ca functia este bijectiva, astfel aratam mai intai ca functia este injectiva:

Fie x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+2-\left(-5x_{2}+2\right)\neq 0\Rightarrow -5x_{1}+5x_{2}+2-2\neq 0\Rightarrow 5\left(x_{2}-x_{1}\right)\neq 0 deci f este injectie

Sau mai putem arata ca f este injectie astfel:

Fie x_{1}, x_{2}\in R cu proprietatea ca f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) sa rezulte ca x_{1}=x_{2} aratam ca:

f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Rightarrow -5x_{1}+2=-5x_{2}+2\Rightarrow x_{1}=x_{2}, deci f este injctie.

Surjectivitatea:

Fie y\in R, f\left(x\right)=y

\Rightarrow -5x+2=y\Rightarrow -5x=y-2

\Rightarrow x=\frac{y-2}{-5}\Rightarrow x=\frac{2-y}{5}.

Deci f este injectiva, surjectiva si astfel rezulta ca f este bijectiva.

Cu teorema pe care am enuntat-o mai sus, daca o functie este bijectiva rezulta ca functia este inversabila, iar inversa sa este f^{-1}=\frac{2-y}{5}.