Grupuri de matrice Grupuri de permutari Grupuri Zn

Dupa ce am introdus notiunea de Grup, introducem alte notiuni noi si anume Grup de matrice, Grup de permutari si Grup Z_{n}. Asadar incepem cu:

Grup de matrice.

Fie n\in N^{*} si M_{n}(C) multimea matricelor patratice de ordin n cu elemente numere complexe.

Stim din clasa a XI a ca multimea  M_{n}(C) impreuna cu  adunarea matricelor este asociativa, comutativa si admite element neutru matricea O_{n}, dar si element simetrizabil, asadar stim ca (M_{n}(C), +) este un grup comutativ.

Despre inmultirea matricelor stim ca este un monoid necomutativ, adica este asociativa si admite elementul neutru I_{n}.

Grupul liniar general de grad n

Fie A\in M_{n}(C). Stim ca matricea A este inversabila in monoidul (M_{n}(C), \cdot) daca si numai daca det A\neq 0. Iar multimea unitatilor monoidului se noteaza Gl_{n}(C)=\left\{    A\in M_{n}(C)| det (A)\in C^{*}\right\}

Asadar  perechea (GL_{n}(C), \cdot) este un grup necomutativ, numit  grup liniar general de grad n peste C.

Definitie:

Matricea A\in M_{n}(C) se numeste matrice ortogonala daca A^{t}\cdot A=I_{n}, iar multimea matricelor ortogonale se noteaza O_{n}(C).

Grupul permutarilor

Inca din clasa a X a la capitolul „Combinatorica” s-a definit notiunea de permutare. Stim ca permutarea unei multimi M=\left\{1, 2, 3, ...., n\right\} este multimea ordonata cu cate n elemente ce se poate alcatui cu elementele multimii M. Numarul elementelor multimii este n! si se citeste n factorial.

Exemplu:

Permutarile multimii {1, 2, 3} sunt: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), asadar fiecarei permutari putem face sa ii corespunda o functie bijectiva, adica functia care asociaza numarului k\in \left\{1, 2, 3\right\}, elementul aflat in permuatare pe locul k.

Asadar celor sase permutari le corespund cele 6 functii bijective definite pe {1,2 ,3} cu valori in {1, 2, 3} si avem corespondentele:

(1, 2, 3)\rightarrow {1, 2, 3}; (1, 2, 3)\rightarrow (1, 3, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 1, 3); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 3, 1); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 1, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 2, 1)

Definitie!

Fie n\in N^{*},  se numeste permutare a multimii M=\left\{1, 2, 3,...., n\right\} orice functie bijectiva definita pe M cu valori in M.

S_{n}=\left\{1, 2, 3,...,n\right\}, multimea permutarilor de gradul n.

Stim ca S_{n}=n! elemente.

Observatie!!!  Permutarile de obicei se noteaza cu ajutorul alfabetului grecesc.

Daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Exemplu:

S_{2}=2!=2, adica avem doua permutari

(1, 2)\rightarrow (1,2), dar si (1, 2)\rightarrow (2, 1).

Compunerea permutarilor

Oricare doua permutari din multimea S_{n} se pot compune dupa procedeul de compunere a functiilor.

Astfel stim ca daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Pentru simplitate se obisnuieste ca la compunerea permutarilor sa nu se mai foloseasca semnul, adica \alpha\circ \beta=\alpha\beta

Exemplu:

\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Si \beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Atunci \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(\beta(1)) & \alpha(\beta(2))  &\alpha(\beta(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(3) & \alpha(2)  &\alpha(1)  \end{pmatrix}

Adica \alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1  & 2  \end{pmatrix}

Stim din clasa a IX a, compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa, si astfel avem: \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(\alpha(1)) & \beta(\alpha(2))  &\beta(\alpha(3))  \end{pmatrix}

Asadar obtinem \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(2) & \beta(1)  &\beta(3)  \end{pmatrix}

Adica \beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3  & 1  \end{pmatrix}

Asadar compunerea permutarilor nu este comutativa.

In multimea permutarilor de grad n, un rol important il joaca e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & .....& n \\ 1 & 2  & 2 & .....& n \end{pmatrix}, numit permutarea identica.

Teorema. Fie  n\in N^{*} si S_{n} multimea permutarilor de grad n, atunci (S_{n}, \circ) este un grup numit grupul permutarilor de grad n. Daca n\geq 3, atunci (S_{n}, \circ) este un grup necomutativ.

Grupul Z_{n}

Fie n\in N^{*}, stim ca Z_{n}=\left\{\widehat{0},\widehat{1},\widehat{2}, ....,\widehat{n-1}\right\} numita multimea claselor de resturi modulo n. Pe multimea Z_{n} s-au definit operatiile de adunare si inmultire a claselor de resturi modulo n.

Astfel (Z_{n}, +) este grup abelian numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, iar (Z_{n},\cdot) este monoid comutativ.

Si U(Z_{n})=\left\{\widehat{k}|(n, k)=1\right\}– numita multimea elementelor inversabile din Z_{n}, adica numerele n si k sunt prime intre ele (cel mai mare divizor comun este 1).

Astfel obtinem ca (U(Z_{n}), \cdot ) este grup comutativ, numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n.

Lasă un răspuns