Ne place matematica !

Mediana in triunghi Concurenta medianelor unui triunghi

Liniile importante in triunghi joaca un rol crucial in rezolvarea problemelor, astfel intr-un triunghi liniile importante sunt: mediana, mediatoarea,bisectoarea si inaltimea,  ,dar si mediana

Astfel, astazi, discutam despre mediana si incepem prin a defini notiunea de mediana:

Definitie: Segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

cum definim mediana intr-un triunghi
Trebuie sa stim ca intr-un triunghi putem sa ducem trei mediane.
Daca construiti toate cele trei mediane intr-un triunghi o sa observati ca medianele sunt concurente, iar punctul lor de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului.
cum sunt medianele intr-un triunghi
Deci e important sa retinem urmatoarea teorema :

Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului, fiind situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Astfel avem: \Delta ABC si avem AM\cap BN\cap CP=\left\{G\right\}, adica sunt concurente si punctul de intersectie se noteaza cu G.
Si mai stim si ca:
AG=\frac{2}{3}\cdot AM
BG=\frac{2}{3}\cdot BN
CG=\frac{2}{3}\cdot CP
Atentie intr-un triunghi oarecare medianele sunt concurente, dar nu si congruente (adica nu au aceiasi lungime)

Mai stimisi ca:
GM=\frac{1}{3}\cdot AM
GN=\frac{1}{3}\cdot BN
GP=\frac{1}{3}\cdot CP

Aplicatii:
1. Fie \Delta ABC, in care avem [AB]\equiv[AC], iar [BM], [CP] mediane. Aratati ca [BM]\equiv[CP].
Astfel avem in ipoteza
Ipoteza: \Delta ABC

[AB]\equiv[AC]
[BM], [CP] mediane.

Concluzie
[BM]\equiv[CP]].
Demonstratie:
medianele intr-un triunghi isoscel
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta ABM si \Delta ACP, in care stim ca
[AB]\equiv[AC] (din ipoteza, deoarece triunghiul ABC isoscel)
[AM]\equiv[AP](cum [AB]\equiv [AC], obtinem ceea ce am spus)
Dar si \widehat{BAM}\equiv\widehat{CAP}

Deci cu cazul de congruneta L.U.L, obtinem ca \Delta ABM\equiv\Delta ACP si astfel obtinem si ca [BM]\equiv [CP].

Deci trebuie sa remarcam ca medianele corespunzatoare laturilor congruente intr-un triunghi isoscel sunt congruente.

Nu acelasi lucru putem sa-l spunem si despre mediana corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel.

Leave a comment