Ne place matematica !

Metoda integrarii prin parti

Dupa ce am invatat notiunea de primitiva, dar si sa calculam o primitiva/ primitivele unor functii, si mai important, sa demonstram cand o functie admite primitive, a venit vremea sa discutam despre metodele de calculare a integralelor. In afara de tabelul cu primitive, mai exista si doua metode:
– metoda integrarii prin parti
– metoda schimbarii de variabile
In acest articol o sa ne ocupam de metoda integrarii prin parti:
Aceste metode de calcul urmaresc transformarea unor integrale „complicate” in integrale care pot fi calculate mai usor.
Teorema. Presupunem ca functiile f, g:I\rightarrow R sunt derivabile cu derivatele: f^{'}, g^{'}:I\rightarrow R continue. Fie doua numere a,b\in I
Atunci \int^{b}_{a}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{'} dx=f\left(x\right)\cot g\left(x\right)|^{b}_{a}-\int^{b}_{a}f^{'}\left(x\right)\cdot g\left(x\right) dx

Exemplu:
1. Calculati urmatoarele integrale:
\int^{1}_{0}\ln\left(3x+1\right)dx
Integrala de mai sus o calculam cu ajutorul metodei integrarii prin parti, astfel
consideram f\left(x\right)=x, deoarece stim ca f^{'}\left(x\right)=x^{'}=1
Observat ca am luat funcita sub derivare ca fiind x
Si g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right)
Si integrala de mai sus devine: \int^{1}_{0}x^{'}\cdot\ln\left(3x+1\right) dx=
Mai intai am aplicat formula de mai sus pentru a obtine o integrala mai usor de rezolvat
x\cdot\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}-\int^{1}_{0}x\cdot\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'} dx=
In cea de-a doua integrala obtinuta am derivat membrul drept, adica g\left(x\right)=\ln\left(3x+1\right), iar g^{'}\left(x\right)=\left(\ln\left(3x+1\right)\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'}=\frac{1}{3x+1}\cdot 3=\frac{3}{3x+1}
1\cdot\ln\left(3\cdot 1+1\right)-0\cdot\ln\left(3\cdot 0+1\right)-\int^{1}_{0}x\cdot \frac{1}{3x+1}\cdot\left(3x+1\right)^{'} dx=
\ln\left(3+1\right)-0\cdot\ln 1-int^{1}_{0}x\cdot\frac{1}{3x+1}\cdot 3dx=\ln 4-0-\int^{1}_{0}\frac{3}{3x+1} dx=\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{1}{3x+1}dx=
Observati ca mai sus sus am aplicat formula Leibniz-Newton

\ln 4-3\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}\cdot \frac{1}{3} dx=

Noua integrala obtinuta o rezolvam folosind formula int\frac{u^{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\ln |u\left(x\right)|+c, unde u(x)=3x+1, dar u^{'}\left(x\right)=\left(3x+1\right)^{'}=3, dar observati ca i fata integralei apare fractia \frac{1}{3}, pentru a se simplifica de la derivare.
\ln 4-3\cdot\frac{1}{3}\int^{1}_{0}\frac{\left(3x+1\right)^{'}}{3x+1}dx=
ln 4-\ln\left(3x+1\right)|^{1}_{0}=\ln 4-\ln\left(3\cdot 1+1\right)=
\ln 4-\ln 4+\ln 1=0
Pentru a afla valoarea integralei am aplicat din nou Leibniz-Newton de unde am obtinut rezultatul 0.

b) \int^{2\pi}_{0}x\sin x dx=
Ca sa calculam integrala de mai sus, mai intai ne alegem functia pe care o punem sub derivare:
Astfel daca luam g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Stim ca \left(-\cos x\right)^{'}=-\left(-\sin x\right)=\sin x
Deci alegem g\left(x\right)=\left(-\cos x\right)^{'}
Astfel integrala devine: \int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}dx
Iar acum daca aplicam formula de mai sus obtinem:
\int^{2\pi}_{0}x\cdot\left(-\cos x\right)^{'}=-x\cos x|^{2\pi}_{0}-\int^{2\pi}_{0}x^{'}\cdot\left(-\cos x\right) dx
Astfel daca aplicam Leibnitz-Newton obtinem -2\pi\cos 2\pi+0\cdot \cos 0+\int^{2\pi}_{0}\cos xdx=-2\pi\cdot 1+\sin x|^{2\pi}_{0}=-2\pi+\sin 2\pi-\sin 0=-2\pi++0-0=-2\pi

Pentru a calcula \int \sin x=\cos x+C am aplicat formula uzuala din tabelul de integrale nedefinite.

c) \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}
Acum la fel ca si mai sus alegem functia cea mai convenabila pe care sa o bagam sub semnul derivarii astfel incat sa ne avantajeze sa obtinem integrale mai usor de rezolvat.
Astfel integrala devine \int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\frac{x}{\cos^{2} x}=\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\frac{1}{\cos^{2} x} astfel daca luam functia \frac{1}{\cos^{2} x}

Stim ca \tan x=\frac{1}{\cos^{2} x}
Astfel consideram functia f\left(x\right)=x, dar si functia g^{'}\left(x\right)=\left(\tan x\right) astfel integrala devine:

\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} x\cdot\left(\tan x\right)^{'} dx=
Iar acum aplicand Metoda integrarii prin parti obtinem:
x\cdot\tan x|^{\frac{\pi}{3}}_{0}-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}\left(x\right)^{'}\cdot \tan xdx=
Acum aplicand formula Laibnitz-Newton obtinem:
\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{3}-0\cdot\tan 0-\int^{\frac{\pi}{3}}_{0}1\cdot \tan x dx=\frac{\pi}{3}\cdot\sqrt{3}-\int^{\frac{\pi}{3}}\tan x dx=

Iar acum daca aplicam formulele pentru primitive obtinem ca \int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\left(-\ln|\cos x|\right)|^{\frac{\pi}{3}}_{0}=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos x||^{\frac{\pi}{3}}_{0}=

Iar la fel ca si mai sus daca aplicam Laibnitz-Newton
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\cos\frac{\pi}{3}|-\ln|\cos 0|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln 1=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-\ln|1|=
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln|\frac{1}{2}|-0=

Obtinem rezultatul de mai sus.
\frac{\sqrt{3}\pi}{3}+\ln 1-\ln 2=  \frac{\sqrt{3}\pi}{3}+0-\ln 2=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-\ln 2.

Deci e important, pentru a aplica Metoda integrarii prin parti, sa cunoastem notiunea de derivata dar si teorema pentru a puteam aplica aceasta metoda.