Metoda triughiurilor congruente

In majoritatea problemelor de geometrie trebuie sa demonstram ca doua segmente sunt congruente sau doua unghiuri sunt congruente.

In rezolvarea unei astfel de probleme se poate utiliza metoda triunghiurilor congruente care consta in parcurgerea  urmatoarelor etape:

– sa identificam doua triunghiuri care contin cele doua elemente care trebuie demonstrate ca sunt congruente, in pozitii corespunzatoare, si a caror congruenta poate fi aratata cu criteriile de congruenta

– aratam ca cele doua triunghiuri sunt congruente

– si cu definitia triunghiurilor congruente obtinem congruenta celor doua elemente.

Acum sa ne reamintim criteriile de congruenta:

Cazul L.U.L

Daca doua triunghiuri au cate doua  laturi respectiv congruente si unghiurile format de aceste laturi congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul U.L.U

Daca doua triunghiuri au cate o latura si unghiurile alaturate acestei baze respectiv congrunete, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul L.L.L

Daca doua triunghiuri au laturile respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Cu ajutorul acestor criterii de congruenta, pentru a  verifica congruenta celor doua triunghiuri  nu mai este nevoie sa verificam toate cele 6 perechi de elemente corespunzatoare asa cum ne cere definitia, ci doar a trei dintre acestea corespunzatoare unuia dintre cele trei criterii.

Observatii.

1. Cand folosim metoda triunghiurilor congruente trebuie sa tinem cont de informatiile pe care ni le furnizeaza enuntul problemei, informatiile obtinute din figura corespunzatoare, dar si de elementele teoretice pe care le cunoastem.

2. In cazul problemelor mai simple, cele trei  informatii pe care trebuie sa le utilizam in cazul de congruenta, sunt furnizate cu usurinta chiar din ipoteza problemei.

3. In cazul unei probleme mai dificile, in majoritatea timplului, sunt necesare demonstratii pregatitoare pe care le folosim cand aratam congruenta celor doua triunghiuri, asadar metoda triunghiurilor congruente poate fi folosita de mai multe ori intr-o problema.

Aplicatii:

1. Fie  ABC si DEF doua triunghiuri in care AB=4 cm m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}, BC=\frac{3}{2}\cdot AB, EF=6 cm, m\left(\widehat{DEF}\right)=50^{0} si DE=\frac{2}{3}\cdot EF. aratati ca [AC]\equiv [DF], \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF} si \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

Astfel avem:

Ipoteza: \Delta ABC, \Delta DEF

AB=4 cm m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}, BC=\frac{3}{2}\cdot AB, EF=6 cm, m\left(\widehat{DEF}\right)=50^{0}

DE=\frac{2}{3}\cdot EF

Concluzie: [AC]\equiv [DF], \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}

\widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

Demonstratie:

Stim BC=\frac{3}{2}\cdot AB=\frac{3}{2}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6\;\; cm

Dar si DE=\frac{2}{3}\cdot EF=\frac{2}{3}\cdot 6=\frac{2\cdot 6}{3}=\frac{12}{3}=4\;\; cm.

cum demonstram congruneta triunghiurilor

Stim in ipoteza ca AB=4=DE, adica [AB]\equiv [DE]

Dar stim si ca

BC=6=EF, adica [BC]\equiv [EF]

Dar mai stim si din ipoteza ca m\left(\widehat{ABC}\right)=50^{0}=m\left(\widehat{DEF}\right), adica \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}

Observati ca am obtinut doua laturi respectiv congruente, dar si unghiul format de aceste laturile sunt congruente.

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABC\equiv\Delta DEF

De unde obtine si ca [AC]\equiv [DF]

Dar si \widehat{BAC}\equiv\widehat{EDF}

Mai mult din \Delta ABC\equiv\Delta DEF\Rightarrow \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}

2.  Se dau \Delta ABC\equiv\Delta DEF. Bisectoarele unghiurilor \widehat{B} si \widehat{C} se intersecteaza in M, iar bisectoarele unghiurilor \widehat{E} si \widehat{F} se intersecteaza in N. Aratati ca \widehat{BMC}\equiv\widehat{EFN}

Astfel in ipoteza avem: \Delta ABC\equiv\Delta DEF

Bisectoarele unghiurilor \widehat{B} si \widehat{C} se intersecteaza in M

Bisectoarele unghiurilor \widehat{E} si \widehat{F} se intersecteaza in N.

Concluzie: \widehat{BMC}\equiv\widehat{EFN}

Demonstratie:

Stim in ipoteza ca \Delta ABC\equiv\Delta DEF

Dar mai stim si ca:

Bisectoarele unghiurilor B si C se intersecteaza  in punctul M

Stim ca bisectoarea unui unghi imparte unghiul dat in doua unghiuri congruente

Adica bisectoarea unghiului B, imparte unghiul B in doua unghiuri congruente, adica m\left(\widehat{B_{1}}\right)=m\left(\widehat{B_{2}}\right)=\frac{m\left(\widehat{B}\right)}{2}

La fel procedam la toate unghiurile.

Mai stim din ipoteza ca \widehat{ABC}\equiv\widehat{DEF}, mai mult \widehat{MB_{2}C_{2}}\equiv\widehat{NE_{2}F_{2}}

Dar si \widehat{ACB}\equiv\widehat{DFE}, mai mult cu definitia bisectoarei obtinem \widehat{MC_{2}B}\equiv\widehat{NF_{2}E_{2}}

Tot din faptul ca \Delta ABC\equiv\Delta DEF stim si ca [BC]\equiv [EF]bisectoarea unui unghi

Astfel cu cazul de congruenta U.L.U, obtinem ca \Delta BMC\equiv\Delta ENF, de unde obtinem ca \widehat{BMC}\equiv\widehat{ENF}

Asadar astfel se aplica metoda triunghiurilor congruente.