Ne place matematica !

Multimea numerelor rationale pozitive, transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare si transformarea fractiilor ordinare in fractii zecimale

Dupa multimea numerelor naturale care ati invatat-o in clasa a V-a astazi o sa invatam multimea numerelor rationale pozitive, dar si adunarea numerelor rationale pozitive.
Definim multimea numerelor rationale pozitive astfel:
Q_{+}=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in N\;\; si\;\; b\neq 0\right\}
Deci Q_{+}= multimea numerelor rationale pozitive, dar daca va aduceti aminte am discutat si in clasa a V-a despre aceste numere.
Multimea numerelor rationale pozitive cuprinde:
-fractiile zecimale
-fractiile ordinare
Numerele rationale se reprezinta cu ajutorul fractiilor ordinare dar si cu ajutorul fractiilor zecimale finite sau fractiile zecimale infinite periodice.
Despre fractiile zecimale am invatat in clasa a V-a atunci cand transformam o fractie zecimala in fractie ordinara dar si invers, o fractie ordinara in fractie zecimala.

Astfel:
-fractiile zecimale finite sunt:0,1; 0,7; 5,8
-fractiile zecimle infinite periodice simple sunt: 0,(1); 0,(7); 3,(4)
-fractiile zecimale infinite periodice mixte sunt: 0,1(3); 7,3(5); 2,01(47)
Ca sa transformam o fractie periodica in fractie zecimala aplicam algoritmul de impartire a numaratorului la numitor.
Daca trebuie sa trasformam o fractie zecimala in fractie ordinara procedam astfel:
1) \overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{n}}=\frac{\overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{n}}}{10^{n}}
2) \overline{a_{0},\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)}=a_{0}+\frac{\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}}}{\underbrace{99...9}_{n cifre}}
3) \overline{a_{0},a_{1}a_{2}...a_{k}\left(a_{k+1}, a_{k+2}...a_{k+n}\right)}=a_{0}+\frac{\overline{a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}a_{k+2}...a_{k+n}}-\overline{a_{1}a_{2}...a_{k} } }{\underbrace{99...9}_{n cifre}\underbrace{00...0}_{n cifre}}
Prezentam mai multe exemple care sa ne reaminteasca cum transformam fractiile zecimale in fractii ordinare
Transformati fractiile zecimale in fractii ordinare ireductibile:
a) 5,\left(2\right)=5\frac{2}{9}=\frac{5\cdot 9+2}{9}=\frac{47}{9}
Am transformat fractia zecimala periodica simpla de mai sus in fractie ordinara asa cum spune si teoria de mai sus.
Sau mai usor 5,\left(2\right)=\frac{52-5}{9}=\frac{47}{9}, deci am scris fractia zecimala asa cum este si am scazut cifa din fata perioadei si am scris atatia de 9 cate cifre avem in perioada.
b) 3,\left(23\right)=\frac{323-3}{99}=\frac{320}{99}
Sau
3,\left(23\right)=3+\frac{23}{99}=\frac{3\cdot 99+23}{99}=\frac{297+23}{99}=\frac{320}{99}
Mai usoara pare a doua varianta pentru ca avem mai putin de calcul.
Ambele fractii de mai sus sunt fractii periodice simple ireductibile.

c) 0,1\left(32\right)=\frac{132-1}{990}=\frac{131}{990}
Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta.
d) 21,3 \left(7\right)=\frac{2137-213}{90}=\frac{1924}{90}=\frac{962}{45}
Sau
21,3 \left(7\right)=21+\frac{37-3}{90}=21+\frac{33}{90}=\frac{21\cdot 90+34}{90}=\frac{1890+34}{90}=\frac{1924}{90}=\frac{962}{45} .
Fractia de mai sus este o fractie periodica mixta.
Am transformat-o in fractie ordinara prin aplicarea celei de-a treia reguli, iar rezultatul pe care l-am obtinut l-am simplificat prin 2 (adica am impartit si numitorul si numaratorul prin 2, aplicand criteriile de divizibilitate).