Operatii cu functii derivabile

Dupa ce am invatat sa calculam derivata unei functii intr-un punct a venit vremea sa discutam despre Operatii cu functii derivabile, adica derivata sumei si a produsului, derivata catului.

Incepem cu derivata sumei si a produsului

Teorema. Fie f, g:D\rightarrow R si x_{0}\in D un punct de acumulare a lui D.

Daca functiile f si g sunt derivabile in punctul x_{0}\in D, atunci functiile f+g si f\cdot g sunt derivabile in punctul x_{0} si au loc urmatoarele reguli de derivare:

\left(f+g\right)^{'}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)+g^{'}\left(x_{0}\right)

\left(f\cdot g\right)^{'}\left(x_{0}\right)=f^{'}\left(x_{0}\right)\cdot g\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)\cdot g^{'}\left(x_{0}\right)

Derivata catului

Teorema. Fie f, g:D\rightarrow R si x_{0}\in D un punct de acumulare a lui D.

Daca functiile f si g sunt derivabile in punctul x_{0}\in D si g\left(x_{0}\right)\neq 0, atunci functia cat \frac{f}{g} este3 derivabila in punctul x_{0} si are loc egalitatea:

\left(\frac{f}{g}\left(x_{0}\right)\right)^{'}=\frac{f^{'}\left(x_{0}\right)\cdot g\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\cdot g^{'}\left(x_{0}\right)}{g^{2}\left(x_{0}\right)}

Prezentam exemple prin care aplicam formulele de mai sus, dar nu doar pentru functiile elementare dar si pentru functiile compuse:

1) Folosind regula de derivare a functiilor compuse, sa se calculeze derivatele functiilor indicand domeniul maxim  de definitie si domeniul de derivabilitate:

a) f\left(x\right)=\left(\frac{x+2}{x}\right)^{2}

Domeniul maxim de definitie:

Punem conditia ca numitorul sa fie diferit de 0, astfel

x\neq 0

Deci domeniul maxim de definitie este D=R-\left\{0\right\}

Acum calculam :

f^{'}\left(x\right)=2\cdot \left(\frac{x+2}{x}\right)^{2-1}\cdot\left(\frac{x+2}{x}\right)^{'}=2\left(\frac{x+2}{x}\right)\cdot \frac{\left(x+2\right)^{'}\cdot x-\left(x+2\right)\cdot x^{'}}{x^{2}}=\frac{2\left(x+2\right)}{x}\cdot \frac{1\cdot x-\left(x+2\right)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{2\left(x+2\right)}{x}\cdot\frac{x-x-2}{x^{2}}=\frac{2\left(x+2\right)}{x}\cdot\frac{-2}{x^{2}}=\frac{-4\left(x+2\right)}{x^{3}}

Observam ca functia de mai sus este o functie compusa si astfel am folosit prima data regula de derivare a functiilor compuse, adica \left(u^{n}\right)^{'}=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{'}, unde u=\frac{x+2}{x}, iar apoi derivata catului, adica am derivat fractia.

 

b) f\left(x\right)=\sqrt{x}\cdot\ln x

Domeniul  maxim de definitie este

x>0

Deci D=R-{0}

f^{'}\left(x\right)=\left(\sqrt{x}\cdot\ln x\right)=\left(\sqrt{x}\right)^{'}\cdot \ln x+\sqrt{x}\cdot \left(\ln x\right)^{'}=

\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\ln x+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x\cdot\ln x+2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}=\frac{x\cdot\ln x+2\cdot x}{2x\sqrt{x}}=\frac{x\left(\ln x+2\right)}{2x\sqrt{x}}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}

Pentru a  deriva functia de mai sus am folosit formula pentru derivarea produsului, dar si derivatele functiilor elementare.

c) f\left(x\right)=\ln\frac{4-x^{2}}{2-x^{2}}

f^{'}\left(x\right)=\frac{1}{\frac{4-x^{2}}{2-x^{2}}}\cdot\left(\frac{4-x^{2}}{2-x^{2}}\right)^{'}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{\left(2-x^{2}\right)^{'}\cdot\left(4-x^{2}\right)-\left(2-x^{2}\right)\cdot\left(4-x^{2}\right)^{'}}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{-2x\cdot\left(4-x^{2}\right)-\left(2-x^{2}\right)\cdot \left(-2x\right)}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{-8x+2x^{3}+4x-2x^{3}}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{4-x^{2}}\cdot\frac{-4x}{\left(2-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{4-x^{2}}\cdot\frac{-4x}{2-x^{2}}=\frac{-4x}{\left(4-x^{2}\right)\left(2-x^{2}\right)}.

Acum aflam domeniul de definitie al derivabilitatii:

2-x^{2}\neq 0\Rightarrow x^{2}\neq 2\Rightarrow x\neq \pm \sqrt{2}    \\4-x^{2}\neq 0\Rightarrow x^{2}\neq 4\Rightarrow x\neq \pm 2.

D^{'}=R-\left\{\pm 2; \pm \sqrt{2}\right\}

d) f\left(x\right)=\left(\sin x\right)^{\cos x}

Calculam :

f^{'}\left(x\right)=\cos x\cdot \left(\sin x\right)^{\cos x-1}\cdot cos x+\left(\sin x\right)^{cos x}\cdot \ln \sin x\cdot \left(\cos x\right)^{'}=\cos x\cdot \left(\sin x\right)^{\cos x-1}\cdot cos x+\left(\sin x\right)^{cos x}\cdot \ln \sin x\cdot\left(-\sin x\right)=\cos^{2} x\left(\sin x\right)^{\cos x-1}+\left(\sin x\right)^{cos x}\cdot \ln \sin x\cdot\left(-\sin x\right)=\left(\sin x\right)^{\cos x-1}\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\ln\sin x\right)

Ca sa derivam functia de mai sus am folosit formula

\left(f^{g}\right)^{'}=g\cdot f^{g-1}\cdot f^{'}+f^{g}\cdot \ln f\cdot g^{'}=f^{g-1}\left(g\cdot f^{'}+f\cdot \ln f\cdot g^{'}\right).

e) f\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot \sqrt{x}

Afla mai intai domeniul de definitie:

Punem conditia ca \sqrt{x}\geq 0\Rightarrow x\geq 0

Astfel domeniul de definitie al functiei este:

D=[0, \infty)

Calculam acum :

f^{'}\left(x\right)=\left(x+1\right)^{'}\cdot \sqrt{x}+\left(x+1\right)\cdot\left(\sqrt{x}\right)^{'}=1\cdot \sqrt{x}+\left(x+1\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+1}{2\sqrt{x}}.
Acum ca sa aflam domeniul de derivabilitate punem conditia ca
\sqrt{x}>0\Rightarrow x>0
D=\left(0,+\infty\right)

Un comentariu la “Operatii cu functii derivabile

Lasă un răspuns