Ne place matematica !

Operatii cu intervale

Dupa ce am definit intervalele, acum o sa efectuam operatii cu intervale de numere reale. Cu efectuam exercitiile in care apar intervale? Intervalele fiind definite ca multimi, pastreaza toate proprietatile multimilor, adica reuniunea de la multimi se pastreaza si la intervale, dar acum o sa scriem sub forma de interval, acelasi lucru se intamla si pentru intersectie, luam partea comuna a celor doua sau trei intervale, exemplificam mai jos intersectia a doua intervale.

Rezolvam exercitii in care apar intervalele si care sunt folositoare si pentru Evaluarea Nationala
1) Efectuati:
a)  [-3,5)\cap (3,8]=(3,5)
Exercitii operatii cu intervale
Deoarece la fel ca si la multimi luam doar partea comuna a intervalelor (doar elementele comune), foarte important trebuie sa stim cum sunt definite intervalele marginite si intervalele nemarginite.
Iar daca vrem sa calculam reuniunea a doua intervale, de exemplu la exercitiul de mai sus
  [-3,5)\cup (3,8]=[-3, 8]
luam toate elementele din cele doua intervale, adica extremitatile.
b)   \left[-2, 5\right)\cap Z^{*}=\left\{-2, -1, 1, 2, 3, 4\right\}
Stim ca multimea numerelor intregi fara 0 (, Z^{*}) cuprinde elemente \left\{- \infty,...-3, -2, -1, 1, 2, 3,...,+ \infty\right\}, deci intersectia dintre intervalul nostru si multimea numerelor intregi este multimea de mai sus, deoarece nu mai are elementul 0 nu mai putem scrie intersectia ca interval.
2) Determinati A\cup B, A\cap B , daca:
  A=\left\{x|\left|2x-1\right|\leq 11\right\}  \\B=\left\{x|\left|2x+1\right|<7\right\}
Ca sa aflam reuniunea, intersectia si diferenta dintre cele doua multimi mai intai trebuie sa vedem ce elemente are fiecare din ele, astfel pentru multimea A luam modulul si-l calculam
  \left|2x-1\right|\leq 11  -11\leq 2x-1\leq 11 (+1)\Rightarrow -11+1\leq 2x-1+1 \leq 11+1\Rightarrow-10\leq 2x\leq 12|:2\\ \Rightarrow-10:2\leq 2x:2\leq 10:2\Rightarrow -5\leq x\leq 5, x\in\left[-5, 5\right]
Ca sa aflam intervalul dupa ce am scris modulul am folosit definitia modulului adica \left\{x\in R|\left|x\right|\leq a\right\}=[-a,a], iar pentru a ajunge numai la x prima data am scazut pe 1 din toata inegalitatea, iar apoi am impartit prin 2, de unde am obtinut pe x. Pentru multimea B
  \left|2x+1\right|<7\Rightarrow -7<2x+16 |:2\Rightarrow -4<x<3, x\in (-4, 3) Deoarece stim de la definitia modulului ca \left|x\right|=x, x>0
Astfel   A\cap B=[-5,5]\cap (-4,3)= (-4,3)  A\cup B=[-5,5]