Ne place matematica !

Operatii cu numere reale > Exercitii

Inainte de a efectua operatii cu numere reale trebuie sa stim care sunt numerele reale, notate R, este formata din reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale. In mod asemanator, R^{*}=R-\left\{0\right\}, adica avem sirul de incluziuni: N\subset Z\subset Q\subset R

Operatiile care putem sa le efectuam cu numerele reale sunt asemanatoare cu operatiile pe care le-am invatat pana acum, adica:

Adunarea numerelor reale

Scaderea numerelor reale

Inmultirea a doua numere reale

Impartirea a doua numere reale

Inversul unui numar real

Ridicarea la putere a numerelor reale

Dar si calculele cu radicali cat si regulile de calcul cu radicali.

In efectuarea operatiilor sus mentionate trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, adica:

-Mai intai efectuam operatiile de gradul III, adica ridicarea la putere a numerelor reale

-Apoi operatiile de gradul II, adica inmultirile si impartirile in ordinea in care apar

-Si nu in ultimul rand operatiile de gradul I, adunarile si scaderile in ordinea in care apar

Acum sa rezolvam cateva exercitii cu numere reale.

1. Efectuatii calculele:

a) (-7+5)\cdot\left(-16:4+12:3\right)

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai efectuam operatia de adunare in prima paranteza dintre doua numere intregi folosind regulile de calcul, apoi efectuam impartirile in cea de-a doua paranteza, astfel obtinem:

(-2)\cdot\left(-4+4\right)=0

Dupa ce am efectuat impartirile am obtinut aceleasi numere, dar de semne contrare, de unde obtinem rezultatul 0.

b) 2\sqrt{24}\left(\frac{3}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)

Ca sa rezolvam exercitul de mai sus, mai intai scoatem factorii de sub radicali, dar si rationalizam, astfel obtinem:

2\sqrt{2^{2}\cdot 2\cdot 3}\left(\frac{3\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)=2\cdot 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=

Apoi ca sa putem efectua calculele, aducem la acelasi numitor in paranteza rotunda si efectuam calculele 4\sqrt{6}\left(\frac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{6}\right) .

De unde obtinem un numar produsul a doua numere in care putem sa efectuam o simplificare prin 6, deoarece stim ca \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6 si astfel obtinem rezultatul 4.

=4\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{4\cdot 6}{6}^{(6}=\frac{4\cdot 1}{1}=4

c) \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}+\frac{2}{3+\sqrt{7}}

Ca sa rezolvam acest exercitiu, mai intai rationalizam numitorii, astfel devine :

\frac{5\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{2\left(3-sqrt{7}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}

Apoi efectuam calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{7-5}+\frac{2\cdot 3-2\cdot \sqrt{7}}{9-7}=\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}}{2}+\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=

Cum avem acelasi numitor, putem efectua calculele:

\frac{5\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6-2\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}+5\sqrt{2}+6}{2}

d) \left(\sqrt{0,(2)}+\frac{\sqrt{8}}{3}\right):0,(5)-\left(\sqrt{4\frac{1}{2}}\right)^{-1}=

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice simple in fractii ordinare, dar introducem si intregii in fractii pe unde se poate:

\left(\sqrt{\frac{2}{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right):\frac{5}{9}-\left(\sqrt{\frac{4\cdot 2+1}{2}}\right)^{-1}=

Deci avem: \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^{-1}=

Observati ca am scos si factorii de sub radicali, iar in urmatorul pas extragem radicalii pe unde se poate  \left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\left(\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}\right)^{-1}

Astfel obtinem: \left(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{3\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\cdot\frac{9}{5}-\frac{\sqrt{2}}{3}=^{3)}\frac{9\sqrt{2}}{5}-^{5)}\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{27\sqrt{2}}{15}-\frac{5\sqrt{2}}{15}=\frac{27\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{15}=\frac{22\sqrt{2}}{15}