Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

diagonelele intr-un paraleogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca [AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai observam si ca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD} ( unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca triunghiul \Delta AOB\equiv\Delta COD (caz L.U.L)
De unde obtinem si ca [AB]\equiv[CD] (1)
Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca
[AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai stim si ca  \widehat{AOD}\equiv\widehat{COB} (ca unghiuri opuse la varf)
Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca
\Delta AOD\equiv\Delta COB, adica obtinem ca AD=CB  (2)
Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.
 
2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

cum aratam ca un patrulater convex este paralelogram

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca DM\perp AC si BN\perp AC si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.
Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca [AD]\equiv[BC]
Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca
\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}( ca unghiuri alterne interne)
Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca \Delta ADM\equiv \Delta CBN, de unde obtinem si ca
[DM]\equiv[BN]
Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor

Propun spre rezolvare mai multe probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, probleme in care folosim Teorema impartirii cu rest, dar si o problema de geometrie in care o sa ne reamintim notiunile invatate in clasa a vi a.
1. Diferenta a 2 numere este 100 catul lor este 6 iar restul 5 . Aflati numerele.
Notam cu a, b numerele
Si avem ecuatia a-b=100 dar si a:b= catul 6 si restul 5, adica cu Teorema impartirii cu rest avem:
a=6\cdot b+5
Inlocuind in prima ecuatie obtinem 6b+5-b=100\Rightarrow 5b+5=100\Rightarrow 5b=100-5\Rightarrow 5b=95\Rightarrow b=95:5\Rightarrow b=19
Si a-19=100\Rightarrow a=100+19\Rightarrow a=119
2. Suma a 3 numere este 2298. Daca din fiecare numar se scade acelasi numar, se obtin respectiv numerele: 380, 725, 1058. Aflati cele 3 numere.
Solutie
Notam cu x, y, z numerele
Stim ca x+y+z=2298
Fie n numarul care se scade, astfel avem ecuatia:
x-n=380
Dar si y-n=725
Si z-n=1058
Acum adunand cele trei relatii obtinem:
x+y+z-3n=380+725+1058\Rightarrow 2298-3n=2163\Rightarrow 3n=2298-2163\Rightarrow 3n=135\Rightarrow n=135:3\Rightarrow n=45

Deci numarul care se scade este 45.

Calculul de arii si volume in prisme

Dupa ce au fost introduse  notiunea de arie laterala, arie totala si volumul unei prisme, rezolvam probleme care in care avem sa calculam arii si volume in prisme diferite. Pentru cei care nu va mai reamintiti formulele pentru arii si volume click aici .

Dar in acest articol ne reamintim cum sa calculam masurii de unghiuri, dar si distanta de la un puncrt la o dreapta, cat si distanta de la un punct la un plan intr-o prisma regulata.

1. Un acvariu care are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ fara capac, este confectionat din sticla. Se stie ca AB=50 cm, BC=30 cm si inaltimea este AA’=40 cm.

a) Aflati distanta dintre A si C’

b) Cati litri de apa trebuie sa punem in acvariu, pentru ca acesta sa se ridice la o inaltime egala de 30 cm?

c) Cate acvarii putem construi di 10 m^{2} de sticla?

Demonstratie:

diagonala intr-un paralelipiped
Astfel stin ca diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic este
d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{50^{2}+30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500+900+1600}=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}\;\; cm
b) Mai intai calculam volulul acvariului cu inaltimea de 30 cm
V=A_{b}\cdot h=L\cdot l+\cdot h=50\cdot 30\cdot 30=45000\;\; cm^{3}
Dar stim ca 1 dm^{3}=1 l, foarte important pentru cei care sunteti in clasa a VIII sa tineti minte aceasta formula.
Astfel mai intai transformam din 45000 cm^{3}=45 dm^{3}=45 l
Asadar trebuie asa punem 45 l de apa pentru ca inatimea apei sa fie de 30 cm.
c) Pentru a afla cate acvarii putem construi, calculam mai intai suparafata unui acvariu si obtinem:
A_{Acvariu}=A_{l}+A_{b}=P_{b}\cdot h+L\cdot l=2\cdot \left(50+30\right)\cdot 40+50\cdot 30=2\cdot 80\cdot 40+1500=160\cdot 40+1500=6400+1500=7900\;\; cm^{2}
Astfel suprafata unui acvariu este de 7900\;\; cm^{2}=0,79\;\; m^{2}
Si din 10\;\; m^{2} obtinem 10\;\; m^{2}:0,79\;\; m^{2}=12, 65, adica 12 acvarii.
2. Consideram prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, cu A_{l}=144\;\; cm^{2} si A_{t}=18\left(8+\sqrt{3}\right)\;\; cm^{2}
Calculati:
a) Lungimea inaltimii pismei
b) Volumul prismei

Demonstratie:
Stim ca A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}\Rightarrow 18\left(8+\sqrt{3}\right)=144+2\cdot\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 144+18\sqrt{3}-144=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 18\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2\cdot 18\sqrt{3}=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=2\cdot 18\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\;\; cm
Acum ca stim lungimea laturii patratului putem sa aflam inaltimea astfel stim ca
A_{l}=P_{b}\cdot h\Rightarrow 3l\cdot h=144\Rightarrow 3\cdot 6\cdot h=144\Rightarrow 18\cdot h=144\Rightarrow h=144:18\Rightarrow h=8
si astfel am aflat si inaltimea prismei adica AA’=8 cm
b) Acum putem afla si volumul prismei, astfel avem
V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=36\sqrt{3}\cdot 2=72\sqrt{3}\;\; cm^{3}
Observati ca baz prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilatera de unde am obtinut ca aria bazei este A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunea de calcul de arii si volume in prisme, deoarece dupa cum bine observati aceste notiuni ne ajuta si in viata e zi cu zi.

Cercul. Elemente in cerc Unghi la centru

Foarte important! La notiunile despre cerc pentru a rezolva probleme cat mai complexe trebuie sa stapanim cat mai bine notiunile teoretice. Astfel mai intai definim notiunea de raza.

Definitie: Se numeste raza segmentul care uneste centrul cercului cu un punct de pe cerc.  [AO] raza

Dar si notiunea de coarda.

Segmentul care uneste doua puncte de pe cerc se numeste coarda.
[CB] coarda

Coarda care trece prin centrul cercului se numeste diametrul cercului, iar capetele diametrului se numesc diametral opuse.
[CE], C si E diametral opuse
Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.
In figura e mai jos avem arcul de cerc BC.

elemtneltele cercului
Doua puncte distincte care nu sunt diametral opuse detrmina doua arce de cerc:
– arcul mic AB
– arcul mare AB, dar pentru a nu exista pericol de confuzie se foloseste inca un punct pentru arcul mare, de exemplu arcul mare ACB
cum arata un arc de cerc
Daca extremitatile unui arc de cerc sunt diamatral opuse, artunci arcul se numeste semicerc.

Punctele care detrmina capetele arcului de cerc se numesc capetele (extremitatile) arcului de cerc.

O alta notiune destul de interesanta este si unghiul la centru

Se numeste unghi la centru unghiul cu varful in centrul cercului. Notiune destul de importanta deoarece cu ajutorul masurii unghiului la centru puntem sa aflam si masura arcului mic cat si masura arcului mare.

Masura unui arc mic de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.
Masura arcului mic AB se noteaza m\left(AB\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)(masura arcului mic AB este egala cu masura unghiului la centru AOB)
unghiul la centru
Masura unui arc mare de cerc este egala cu diferenta dintre 360^{0} si masura unghiului la centru corespunzator.
Adica: m\left(ACB\right)=360^{0}-m\left(\widehat{AOB}\right)
Observatie. Trebuie sa avem grija sa nu confundam masura unui arc de cerc (exprimate in grade) cu lungimea arcului de cerc exprimat in unitati de lungime.
De exemplu daca avem doua sau mai multe cercuri concentrice (doua cercuri se numesc concentrice daca au aceiasi raza)
cum comparam masura unui arc de cerc cu lungimr=ea unui arc de cerc
Observam ca m(AB)=m(CD)=m\left(\widehat{AOB}\right)
Dar lungimile arcului de cerc sunt diferite adica AB\neq CD

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc se numesc arce congruente daca au aceiasi masura.
doua arce sunt congrunete daca au aceiasi masura
Adica, arcul AB este congruent cu arcul CD, daca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}
Sau mai scriem si ca
AB\equiv CD\Leftrightarrow m\left(AB\right)\equiv m\left(CD\right)

Aplicatii !

Fie cercul de centru O si raza 4 cm si coarda [MN] o coarda de lungime 4\sqrt{2}\;\; cm. Calculati lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN].

Demonstratie:

lungimile arcelor de cerc

Observam ca OM si ON sunt raze, cum stim ca OM=ON=4 cm si MN=4\sqrt{2}\;\; cm
Cu Reciproca Teoremei lui Pitagora obtinem ca OM^{2}+ON^{2}=MN^{2}
Adica triunghiul MNO estre dreptunghic in O. Adica m\left(\widehat{MON}\right)=90^{0}
Si astfel aflam ca masura arcului mic MN este de 90^{0} Iar masura arcului mare este de 360^{0}-m\left(\widehat{MON}\right)=360^{0}-90^{0}=270^{0}
Iar pentru a afla lungimea arcelor folosim formula
\frac{\pi\cdot u^{0}\cdot r}{180^{0}}, unde
u^{0} este masura arcului de cerc, r este raza cercului.
Astfel obtinem ca lungimea arcului mic MN este
\frac{\pi\cdot 4\cdot 90^{0}}{180^{0}}^{(90}=\frac{4\pi}{2}=2\pi
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunile elementare ale cercului, deoarece constituie elementele esentiale in notiunile care vor fi introduse.

Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

subiecte evaluarea nationala 2015Demonstratie:
a) Stim ca aria unui dreptunghi este A_{dreptunghi}=L\cdot l=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000\;\; m^{2}
Dar transformati in hectare obtinem
15 000:10000=1,5 ha
b)Triunghiul MNB isoscel

Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca AM=MD=\frac{100}{2}=50 m
Dar mai stim si ca DN=2\cdot NC
Dar stim ca DC=DN+NC\Rightarrow 150 m=2NC+NC\Rightarrow 3NC=150 m\Rightarrow NC=150:3\Rightarrow NC=50\;\; m
Si DN este egal cu DN=150-50=100
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}\Rightarrow MN^{2}=100^{2}+50^{2}\Rightarrow MN^{2}=10000+2500\Rightarrow MN^{2}=12500\Rightarrow MN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow MN=50\sqrt{5}
Dar si BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}\Rightarrow BN^{2}=10000+2500\Rightarrow BN^{2}=12500\Rightarrow BN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow BN=50\sqrt{5}
Astfel obtinem ca MN=BN=50\sqrt{5}\;\; m
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB.
c) Masura unghiului MN si NB.
m\left(\widehat{MN,NB}\right)=m\left(\widehat{MNB}\right)=
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}\Rightarrow BM^{2}=50^{2}+150^{2}\Rightarrow BM^{2}=2500+22500\Rightarrow BM^{2}=25000\Rightarrow BM=\sqrt{25000}=5\cdot 10\sqrt{10}=50\sqrt{10}
Astfel stim ca MN=BN=50\sqrt{5} si BM=50\sqrt{10}

si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem BM^{2}=MN^{2}+BN^{2}\Rightarrow 25000=12500+12500
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca m\left(\widehat{MNB}\right)=90^{0}

2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora VM^{2}=VA^{2}-AM^{2}, unde AM=MD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm
Astfel VM^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{45-9}\Rightarrow VM=\sqrt{36}=6\;\; dm
b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}
stim ca
a_{p}=VM=6 cm
Astfel A_{l}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{1}=72\;\; dm^{2}
Stim ca pentru 1 dm^{2} se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie 72\cdot 30 g=2160g
deci ne trebuie 2160 g
c) \sin\left(\widehat{(VAD),(VMB)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel  (VAD)\cap(VBC)={V}
Astfel avem VM\perp AD; VM, AD\subset(VAD)
si construim VN\perp BC; VN, BC\subset(VBC)
Astfel avem sinusul unghiului \sin\left(\widehat{VN,VM}\right)=\sin\widehat{NVM}
Observam ca MN=DC=AB=6 dm
din a) stim si ca VM=6 dm, obtinem si ca VN=6 cm, deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca A_{\Delta MVN}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\; dm
Astfel mai stim si ca A_{\Delta}=\frac{MV\cdot NV\cdot \sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{36\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=18\sin\widehat{MVN}
Astfel egaland ariile stim ca 18\sin\widehat{MVN}=9\sqrt{3}\Rightarrow \sin\widehat{MVN}=\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Rezolvare subiecte Evaluarea Nationala 2015

La subiectul I

1. Tinand cont de ordinea efectuarii operatiilor, efectuam mai intai inmultirea si apoi scaderea, deci rezultatul este 0.

subiecte Evaluarea Nationala

2. Solutie

Dupa cum stim din calsele mai mici a este un extrem astfel a=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=6

3. Cel mai mare numar natural care apartine intervalului [1, 5] este 5, deoarece avem un interval inchis la ambele capatete si dupa cum bine stiti se ia si ultimul element daca avem un interval inchis.

4. Perimetrul unui Patrat este 4\cdot l, stiind ca latura este de 6 cm, atunci P_{ABCD}=4\cdot 6=24 cm

5.  Masura unghiului dintre dreptele AB si BF este m\left(\widehat{AB, BF}\right)=m\left(\widehat{ABF}\right)=90^{0}

Deoarece observam ca triunghiul ABF este dreptunghic in B.

6. Numarul elevilor care au obtinut nota 10 este egal cu 3.

Subiectul II

1. Paralelipipedul dreptunghic - Copy - Copy
2. Multipli lui 40 de doua cifre sunt
M_{40}=\left\{40, 80\right\}
Deci media aritmetica este
M_{a}=\frac{40+80}{2}=\frac{120}{2}=60
3. Notam cu x suma de bani
Stim ca in prima zi a cheltuit 30% din suma
Iar in a a doua zi restul de 35 de lei.
Astfel avem ecuatia x-30%\cdot x-35=0\Rightarrow x-\frac{30}{100}\cdot x=35\Rightarrow \frac{100x}{100}-\frac{30x}{100}=35\Rightarrow \frac{70x}{100}=35\Rightarrow \frac{7x}{10}=35\Rightarrow x=\frac{35\cdot 10}{7}=\frac{350}{7}=50\;\;lei
Iar in prima zi a cheltuit
\frac{30}{100}\cdot 50=\frac{1500}{100}=15\;\; lei
4. Avem functia liniara f:R\rightarrow R, f(x)=x+2
a) f(-2)=-2+2=0
b) Acum pentru a calcula graficul functie, stim ca
G_{f}\cap OX
y=0 si
f\left(x\right)=0\rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2
Deci avem primul punctu A(-2,0)
Iar G_{f}\cap OY
Avem x=0\rightarrow f(0)=2
Deci punctul B(0,2)
graficul functie Evaluarea nationala
5. Trebuie sa aratam ca expresia E(x)=-1
Asfel avem
E(x)=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}-\frac{2x+7}{x(x+1)}\cdot\frac{x+1}{1}
Observati ca am folosit formula de calcul prescurtat a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
Astfel expresia devine
E(x)=\frac{x+7}{x}-\frac{2x+7}{x}=\frac{x+7-2x-7}{x}=frac{-x+0}{x}=\frac{-x}{x}=-1

Variante BAC M1

Propunem spre rezolvare un exercitiu de analaiza matematica in care calculam primitiva unei functii, limita unei primitive, dar si o integrala mai complicata, astfel:

Fie functia f:R\rightarrow R f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}

a) Calculati \int f\left(x\right) dx

b) Fie F:R\rightarrow R, o primitiva a functiei f, calcuati \lim_{x\to 0}{\frac{F(x)-F(0)}{x^{2}}}

c) Calcuati \int_{0}^{2\pi} x\cdot f(x)dx

Solutie:

a) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int f\left(x\right) dx=\int\frac{\sin x}{1+cos^{2}x}dx

Ca sa rezolvam integrala folosim Metoda schimbarii de variabile. Cei care nu va mai reamintiti click aici. Astfel notam \cos x=t

Iar pentru a afla dx, derivam  egalitatea de mai sus in functie de dx dar si in functie de dt \left(\cos x\right)^{'} dx=t^{'} dt\Rightarrow -\sin x dx=dt\Rightarrow \sin x dx=-dt

Astfel integrala devine \int \frac{-dt}{1+t^{2}}=-\frac{1}{1}\arctan\frac{t}{1}=-\arctan\frac{\cos x}{1}+C=-\arctan(\cos x)+C

Mai sus am folosit formula de la integralele uzuale \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C

b) Variante BAC M1 ! Stiind ca F este o primitiva a functie f , observam ca cu informatiile de la punctul a)  stim ca F(x)=-\arctan(\cos x)+C si limita devine:

\lim\limits_{x\to 0}{\frac{F{x}-F(0)}{x^{2}}}=

Dar mai intai calculam F(0)=-\arctan(cos 0)=-\arctan 1=0

Astfel limita devine \lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}-0}{x^{2}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{-\arctan{\cos x}}{x^{2}}}=\frac{0}{0}

Observati ca suntem in cazul de nedeterminare 0/0, astfel cu regula lui L’ Hospital avem ca \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\left(-arctan(\cos x)\right)^{'}}{\left(x^{2}\right)^{'}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f(x)}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{f^{'}(x)}{2}}=

Mai mai intai calculam f^{'}(x)^=\frac{\cos x\left(1+\cos^{2}x\right)-\sin x\left(-2\cos x\cdot\sin x\right)}{\left(1+\cos^{2} x\right)^{2}}=\frac{cos x+cos^{3} x+2\cos x\sin^{2} x}{\left(1+\cos^{2}x\right)}

Pentru x=0 derivata devine f^{'}(0)=\frac{1+1+0}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Adica limita devine: \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}=\frac{1}{4}

c) Variante BAC M1 ! Integrala devine \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\int^{2\pi}_{0}x\cdot\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x} dx=\int^{2\pi}_{0}=\frac{x\sin x}{1+\cos^{2}x}dx=

Pentru a rezolva integrala facem schimbarea de variabila

t=2\pi-x\Rightarrow -x=t-2\pi\Rightarrow x=2\pi-t

Si obtinem (t)^{'}dt=(2\pi-x)^{'}dx\Rightarrow dt=-dx

Iar capetele intervalului devin x=0\Rightarrow t=2\pi-0=2\pi

Iar pentru x=2\pi\Rightarrow t=2\pi-2\pi=0

Astfel integrala devine \int^{0}_{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)\left(-dt\right)=\int_{0}^{2\pi}\left(2\pi-t\right)f\left(2\pi-t\right)dt=2\pi\int^{2\pi}_{0}f\left(2\pi-t\right)dt-\int^{2\pi}_{0}t\cdot f\left(2\pi-t\right) dt

Dar stim ca f\left(2\pi-t\right)=\frac{\sin(2\pi-t)}{1+\cos^{2}(2\pi-t)}

Dar stim ca \sin(2\pi -t)=\sin 2\pi\cdot\cos t-\cos 2\pi\sin t=-(-1)\cdot \sin t=-\sin t dar si \cos(2\pi -t)=\cos 2\pi \cos t+\sin 2\pi\sin t=\cos t astfel f(2\pi-t)=\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}

Si integrala devine 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{-\sin t}{1+\cos^{2}t}(-dt)-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot (-\sin t)}{1+\cos^{2}t} (-dt)

 

Astfel integrala devine: \int_{0}^{2\pi}x\cdot f(x)dx=2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2}t}dt-\int^{2\pi}_{0}\frac{t\cdot \sin t}{1+\cos^{2}t} dt
\Rightarrow \int^{2\pi}_{0}x\cdot f(x)dx=\frac{1}{2}\cdot 2\pi\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin t}{1+\cos^{2} t}dt=-\pi\arctan(cos t)|^{2\pi}_{0}=

-\pi\left(arctan(cos 2\pi)-arctan(cos 0)\right)=-\pi\left(arctan 1-arctan 1\right)=0