Prisma

Dupa cee am vorbit de piramida astazi o sa vorbim despre prisma. Inca din clasele mai mici ati desenat paralelipipedul dreptunghic si cubul, doua corpuri geometrice care fac parte din prisma. Pentru Evaluarea Nationala trebuie sa stim foarte bine din cadrul prismei urmatoarele corpuri: prisma triunghiulara regulata, prisma patrulatera regulata, paralelipipedul dreptunghic si cubul.

O prisma se numeste regulata daca are baza poligon regulat.
Prisma triunghiular regulata ca si piramida are baza triunghi echilateral iar fetele laterale, dupa cum bine banuitim, dreptunghiuri.

Elementele prismei triunghiulare regulate:
– bazele: triunghiurile echilaterale \Delta ABC si \Delta A'B'C'
– fetele laterale: dreptunghiurile ABB’A’, BCB’C’, ACC’A’
– muchiile bazei [AB], [AC], [BC]; [A’B’]; [A’C’]; [B’C’]
– muchiile laterale: [AA’]; [BB’]; [CC’]
– latura bazei notata cu l si inaltimea prismei triunghiulare regulate AA’

Paralelipipedul dreptunghic Are bazele dreptunghiuri, iar fetele laterale tot dreptunghiuri.
Paralelipipedul dreptunghic

Elementele paralelipipedului: -varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt dreptunghiuri congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt dreptunghiuri: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
– muchiile laterale sunt congruente: AA’, BB’, CC’, DD’
-diagonalele paralelipipedului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile paralelipipedului:
-lungimea (L=AB)
-latimea (l=BC)
-inaltimea (h=AA’)

Cum aflam diagonalele paralelipipedului?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic, prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora  BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+L^{2} , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: <br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=h^{2}+l^{2}+L^{2}, deci diagonala notata cu d este d=\sqrt{h^{2}+l^{2}+L^{2}}.
Cubul

Cubul-reprezentare si descriere
Are bazele patrate, iar fetele laterale tot patrate.

Elementele patratului:
-varfuri: A, B,C D, A’, B’, C’, D’
-bazele sunt patrate congruente: ABCD, A’B’C’D’
-fetele laterale sunt patrate: AA’BB’, BB’CC’, CC’DD’, AA’DD’
-diagonalele cubului: AC’, BD’, A’C, B’D.
Dimensiunile cubului:
-lungimea (L=l=h=AB=BC=DD’)

Cum aflam diagonalele dintr-un cub?

In primul rand daca luam diagonala BD’, observam ca BDD’ este triunghi dreptunghic isoscel , prima data aflam BD din triunghiul ABD dreptunghi in A, aplicand teorema lui Pitagora  BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow BD^{2}=l^{2}+l^{2}\Rightarrow BD^{2}=2l^{2} , iar apoi daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDD’, obtinem: <br /> BD'^{2}=DD'^{2}+BD^{2}\Rightarrow BD'^{2}=l^{2}+2l^{2}\Rightarrow BD'^{2}=3l^{2}\Rightarrow BD'=l\sqrt{3}, deci diagonala notata cu d este d=l\sqrt{3}.

Deci foarte important sa stim cum sa calculam diagonalele in cub si in paralelipipedul dreptunghic

Scaderea numerelor rationale

Dupa ce am am vorbit despre adunarea numerelor rationale, astazi vom vorbi despre scaderea numerelor rationale.
Dupa cum stim de la adunarea numerelor rationale ca adunarea a doua numere rationale este tot un numar rational asa si diferenta a doua numere rationale este tot un numar rational. Incepem prin a rezolva cateva exercitii:

1) Efectuati:
a) <br /> -1\frac{3}{7}-\left[\left(-\frac{5}{42}\right)-\left(-\frac{3}{14}\right)-\left(+\frac{4}{21}\right)\right]=\\<br /> -\frac{1\cdot 7+3}{7}-\left(-\frac{5}{42}+\frac{3}{14}-\frac{4}{21}\right)=\\<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-1\cdot 5+3\cdot 3-2\cdot 4}{42}\right)=\frac{10}{7}-\left(\frac{-5+9-8}{42}\right)=<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-4}{42}\right)=-\frac{10}{7}-\left(\frac{-2}{21}\right)=-\frac{10}{7}+\frac{2}{21}=\frac{-10\cdot 3+1\cdot 2}{21}=\frac{-30+2}{21}=\frac{-28}{21}=-\frac{4}{3}<br /> .

Pentru a calcula exercitiul de mai sus am introdus intregii in fractii unde a fost nevoie, iar apoi am efectuat calculele din paranteza cu mare grija sa nu gresim semnele, am adus la acelasi numitor prima data in paranteza iar apoi primul termen cu ce am obtinut din paranteza, rezultatul obtinut l-am simplificat prin 7.

b) <br /> \left[1,3(5)-0,0(2)+0,(6)\right]-\left(1\frac{7}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{135-13}{90}-\frac{2}{90}+\frac{6}{9}\right)-\left(\frac{22}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{122}{90}-\frac{1}{45}+\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1\cdot 22-3\cdot 1}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122\cdot 1-2\cdot 1+30\cdot 2}{90}\right)-\left(\frac{22-3}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122-2+60}{90}\right)-\frac{19}{15}=\frac{180}{90}-\frac{19}{15}=\\<br /> 2-\frac{19}{15}=\frac{15\cdot 2-1\cdot19}{15}=\frac{30-19}{15}=\frac{11}{15}<br />

La exercitiul b) am transformat fractiile periodice simple si mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut, apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun) in fiecare parnteza rezultatele obtinute din cele doua paranteze le-am gasit numitorul comun si am efectuat calculele obtinand o fractie subunitara (numaratorul mai mic decat numitorul).

c) \left[2,08(3)-3\frac{5}{6}\right]-\left(3\frac{3}{4}-2\frac{1}{8}-2\frac{1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{2083-208}{900}-\frac{3\cdot 6+5}{6}\right)-\left(\frac{3\cdot 4+3}{4}-\frac{2\cdot 8+1}{8}-\frac{2\cdot 6+1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{1875}{900}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{15}{4}-\frac{17}{8}-\frac{13}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{75}{36}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{6\cdot 15-3\cdot 17-4\cdot 13}{24}\right)=\\<br /> \left(\frac{25}{12}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{90-51-52}{24}\right)=\\<br /> \frac{1\cdot 25-2\cdot 23}{12}-\left(\frac{-13}{24}\right)=\frac{25-46}{12}-\left(-\frac{13}{24}\right)=\\<br /> \frac{-21}{12}+\frac{13}{24}=\frac{2\cdot(-21)+1\cdot 13}{24}=\frac{-42+13}{24}=\frac{-29}{24}=-\frac{29}{24}=-1\frac{5}{24}

La exercitiul c) am transformat fractiile periodice mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde am putut pentru a ne simplifica calculele, iar apoi am adus la acelasi numitor si am calculat folosind regulile de calcul cu numere intregi, iar apoi am scos intregii din fractie.
Deci foarte important sa calculam corect, sa stim regulile de calcul cu numere intregi.

Adunarea numerelor rationale

Despre adunarea numerelor rationale am mai invata si in clasa a VI- a, dar doar despre numerele rationale pozitive, acum ca stim sa rezolvam si exercitii cu numere intregi, o sa rezolvam si exercitii cu numere rationale negative. Astfel stim ca: daca adunam doua numere rationale obtinem tot un numar rational. Proprietatile adunarii numerelor rationale pozitive:

-Adunarea este asociativa a+(b+c)=(a+b)+c
-Adunarea numerelor rationale este comutativa a+b=b+a
-Elementul neutru pentru adunare este 0.
Pentru a intelege mai bine, pentru a ne reamintim cum se efectueaza adunarea numerelor rationale .O sa efectuam cateva exercitii:

1) Calculati
a) <br /> -\frac{3}{5}+0,2+\left(-\frac{6}{10}\right)+0,8=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{2}{10}-\frac{6}{10}+\frac{8}{10}=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=<br /> \\\frac{-3+1-3+4}{5}=\frac{-2+1}{5}=-\frac{1}{5}=0,2<br />
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am transformat prima data cele doua fractii zecimale in fractii ordinare, adica 0,2=\frac{2}{10}, am invatat din clasa a V-a ca daca avem o fratie zecimala simpla si vrem sa o transformam in fratie ordinara scriem numarul la numarator iar la numitor 1 urmat de atatea zerourii cate cifre avem dupa numarul respectiv in cazul nostru un singur zerou pentru ca numarul este 0,2.

Dupa ce am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare ,am facut cateva simplificari si am obtinut patru fractii cu acelasi numitor pe care le- am rezolvat astfel:

-am copiat numitorul iar numitorii i-am adunat, rezultatul obtinut l-am transformat in fractie zecimala (am impartit numaratorul la numitor).
Puteam sa rezolvam exercitiul si altfel, adica sa transformam fractiile ordinare in fractii zecimale si calculam.

b) -\frac{14}{32}+3,25+\frac{7}{16}-2\frac{5}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{325}{100}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{13}{4}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\\frac{1\cdot (-7)+4\cdot 13+1\cdot 7-2\cdot 21}{16}=<br /> \\\frac{-7+52+7-42}{16}<br /> \\\frac{10}{16}=\frac{5}{8}

Ca sa rezolvam exercitiul b, prima data am transformat fratiile zecimale in fractii ordinare si am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculul, iar apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun si apoi am amplificat fiecare fractie, numitorul il gasim astfel; luam toti numitorii si gasim cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor), si  calculam folosind regulile de calcul cu numere intregi.

c) <br /> 0,5-0,(6)-0,75+2,(3)=\frac{5}{10}-\frac{6}{9}-\frac{75}{100}+\frac{23-2}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{21}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{3}=<br /> \\\frac{6\cdot 1-4\cdot 2-3\cdot3+4\cdot 7}{12}=\frac{6-8-9+28}{12}=\frac{-2+19}{12}=\frac{17}{12}=\frac{1}{3}=1\frac{5}{12}m

Am transformat fractiile zecimale simple si fractiile zecimale periodice in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut pentru a ne simplifica calculele (prima fractie am simplificat-o prin 5, doua fractie am simplificat-o prin 3, a treia fractie am simplificat-o prin 25, iar ultima fiind o fractie periodica mixta am simplificat-o prin 3), apoi am adus fractiile la acelasi numitor si am efectuat calculele, din rezultatul obtinut am scos intregii din fractie.

Operatii cu numere rationale

Inca din clasa a VI-a am invatat cum sa calculam doua numere rationale, adica cum calculam cand avem doua sau mai multe fractii cu numitori diferiti si vrem sa le calculam, atunci am invatat pentru numere rationale pozitive, astazi o sa invatam sa calculam si in cazul in care avem numere rationale negative.

Adunarea a doua numere rationale ‘a’ si ‘b’ este tot un numar rational, notat a+b, numita suma numerelor a si b.
Ca sa intelegem mai bine cum se rezolva exercitiile  cu numere rationale de acest gen, astfel vorbim astazi despre operatii cu numere rationale:

1) Calculati:
a) \left(-\frac{4}{5}\right)+\left(-\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{4}{15}\right)<br /> \\\frac{-4\cdot 12-1\cdot 6+5\cdot 10+4\cdot 4}{60}=\frac{-48-6+50+16}{60}=\frac{-54+66}{60}=<br /> \\\frac{+12}{60}=\frac{1}{5}<br />

Primul lucru pe care l-am facut pentru a rezolva acest exercitiu am gasit numitorul comun al tuturor fractiilor, am adus toate fractiile la acelsi numitor si am efectuat calculele iar pentru calcule am folosit regulile de calcul cu numere intregi  apoi am simplificat rezultatul pri 12.

b) <br /> -3\frac{1}{14}+\left(-1\frac{2}{7}+\frac{5}{6}\right)=-\frac{3\cdot 14+1}{14}+\left(-\frac{1\cdot 7+2}{7}+\frac{5}{6}\right)=<br /> \\-\frac{43}{14}+\left(-\frac{9}{7}+\frac{5}{6}\right)=-\frac{43}{14}+\left(\frac{-9\cdot 6+5\cdot 7}{42}\right)=<br /> \\-\frac{43}{14}+\left(\frac{-54+35}{42}\right)=-\frac{43}{14}+\frac{-19}{42}<br /> \\-\frac{43}{14}-\frac{19}{42}=\frac{-43\cdot 3 -19\cdot 1}{42}=<br /> \\\frac{-129-19}{42}=\frac{-148}{42}=-\frac{74}{21}<br />

In exercitiul de mai sus primul lucru pe care l-am  facut a fost sa introducem intregii in fractie iar apoi aducem fractiile la acelasi numitor, calculand cu ajutorul regulilor de calcul cu numere intregi. Apoi am simplificat fractia prin 2, am folosit crietriul de divizibilitate cu 2.Ca sa se simplifice fractia trebuie ca si numitorul si numaratorul sa se imparta la acelasi numar.

c)<br /> \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}+...+\frac{35}{36}=\frac{1+2+3+...+35}{36}=\frac{35\cdot\left(35+1\right)}{36\cdot 2}=\\ \frac{35\cdot 36}{36\cdot 2}=\frac{35}{2}

La exercitiul c) observam ca avem acelasi numitor si astfel putem sa scriem numaratorii sub forma de suma iar dupa ce am realizat acest lucru folosim formula 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2} Apoi, dupa ce aplicam formula simplificam prin 36.

Numere intregi

Astazi o sa rezolvam exercitii in care apar numere intregi:
1) Rezolvati ecuatia ax=b+53 pentru:  a=\left[\left(-3\right)^{13}\right]^{2}:\left(-2\right)^{23}+\left(-5\right)\cdot\left(-2\right)^{2}+\left(-1\right)^{2010}<br /> \\b=\left(1-2+3-4+5-6+...+9-10\right)+\left(+31\right)-\left(-5\right)^{2}
Calculam mai intai a si b, iar apoi ecuatia, incepem prin a calcula a <br /> a=\left(-2\right)^{26}:\left(-2\right)^{23}+\left(-5\right)\cdot 4+1\\ a=\left(-2\right)^{26-23}+\left(-20\right)+1 \\a=\left(-2\right)^{3}-20+1\\ a=-8-20+1\\ a =-27
Pentru a calcula ‘a’ folosim regulile de calcul cu puteri pentru numere intregi [(a)^{m}]^{n}=a^{m\cdot n} si a^{m}:a^{n}=a^{m-n} si regulile semnelor, adica daca ridicam un numar negativ la o putere impara obtinem un numar negativ. iar pentru ‘b’ prima data am incercat sa scriu cifrele astfel incat sa pot folosi Sumele lui Gauss, formula pe care a-ti invatat-o in clasa a V-a, 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}, iar ca sa aflam rezultatul am folosit regulile semnelor.  b=\left(1+3+5+...+9\right)-\left(2+4+6+...+10\right)+31-25 \\b=\left[1+(2+1)+(4+1)+...+(8+1)\right]-2\left(1+2+3+...+5\right)+6 \\b=\left(1+4\cdot 1+2\left(1+2+3+...+4\right)\right)-2\cdot\frac{5\cdot (5+1)}{2}+6\\ b=\left(5+2\cdot\frac{4\cdot(4+1)}{2}\right)-5\cdot 6+6 \\b=5+4\cdot 5-30+6\\ b=5+20-30+6\\ b=25-30+6\\ b=-5+6 \\b=1
Calculand ax=b+53 \Rightarrow -27x=1+53 -27x=54\Rightarrow x=\frac{54}{-27}\Rightarrow x=-2 Ca sa calculam ce ne cere exercitiu adica sa aflam solutia ecuatiei, inlocuim a si b cu ce am gasit si rezolvam ecuatia asa cum am invatat.

Exercitii operatii cu numere intregi

Astazi o sa rezolvam cat mai multe exercitii in care apar numerele intregi, adica operatii cu numere intregi:
1) Rezolvati ecuatia ax=b+53 pentru:

a=\left[\left(-3\right)^{13}\right]^{2}:\left(-2\right)^{23}+\left(-5\right)\cdot\left(-2\right)^{2}+\left(-1\right)^{2010}<br /> b=\left(1-2+3-4+5-6+...+9-10\right)+\left(+31\right)-\left(-5\right)^{2}
Calculam mai intai a si b, iar apoi ecuatia. Incepem prin a calcula a
a=\left(-2\right)^{26}:\left(-2\right)^{23}+\left(-5\right)\cdot 4+1<br /> \\a=\left(-2\right)^{26-23}+\left(-20\right)+1<br /> \\a=\left(-2\right)^{3}-20+1<br /> \\a=-8-20+1<br /> \\a =-27
iar
<br /> b=\left(1+3+5+...+9\right)-\left(2+4+6+...+10\right)+31-25<br /> \\b=\left(1+(2+1)+(4+1)+...+(8+1)\right)-2\left(1+2+3+...+5\right)+6<br /> \\b=\left(1+4\cdot 1+2\left(1+2+3+...+4\right)\right)-2\cdot\frac{5\cdot (5+1)}{2}+6<br /> \\b=\left(5+2\cdot\frac{4\cdot(4+1)}{2}\right)-5\cdot 6+6<br /> \\b=5+4\cdot 5-30+6<br /> \\b=5+20-30+6<br /> \\b=25-30+6<br /> \\b=-5+6<br /> \\b=1<br />
Calculand ax=b+53 \Rightarrow<br /> \\-27x=1+53<br /> \\-27x=54<br /> \\x=\frac{54}{-27}<br /> \\x=-2<br /> .
Deci am gasit solutia ecuatiei in care am efectuat operatii cu numere intregi.In curand si alte exercitii explicate cu operatii cu numere intregi vor fi postate pe site-ul  Mate Pedia.

Puncte drepte plane, axiomele geometriei in spatiu

Inca din clasele mai mici vi s-au definit notiunile de puncte drepte plane, dar in afara de aceste lucruri vi s-a mai spus si despre teoreme (despre care am invatat mai amanuntit in clasa a VII-a , exemplu Teorema lui Pitagora, Teorema catetei, Teorema inaltimii si multe altele) si axiome (prima axioma care am invatat-o in clasa a VI-a la geometrie este Axioma lui Euclid, care ne spunea ca printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o dreapta si numai una la dreapta data), in afara de axioma care am enuntat-o vi s-au mai enuntat si altele, adica axiomele geometriei in spatiu:

A1. Prin doua puncte distincte trece o singura dreapta. Orice dreapta are doua puncte distincte.

A2. Trei puncte necoliniare determina un plan.

Intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.
Trei puncte necoliniare determina un plan
A3. Daca doua pucte distincte sunt situate intr-un plan, atunci dreapta determinata de ele are toate punctele in acel plan.
Doua puncte distincte sunt situate intr-un plan
A4. Daca doua plane distincte au un punct in comun, atunci ele mai au cel putin inca un punct in comun.
Dupa ce am enuntat axiomele, rezolvam o problema care ne ajuta sa intelegem aceste notiuni.

Problema.
1) Fie triunghiul echilateral ABC si M un punct ce nesituat in planul (ABC), astfel incat MA=6 cm, MB=MC=6\sqrt{3} si MD=6\sqrt{2}, unde D\in (BC) si [BD]\equiv[DC]. Stabiliti natura triunghiului MAD si calculati aria acestuia.
Ip:
<br /> \Delta ABC echilateral
M\notin(ABC)
\\MA=6 cm
\\MB=MC=6\sqrt{3}
\\MD=6\sqrt{2}
\\ D \in (BC)
[BD]\equiv[DC]
Cl:
– natura \Delta ABC
– aria  \Delta ABC.
Dem
Rezolvare probleme, un punct exterior unui plan
Unind punctele A si D, obtinem AD, mediana, dar triunghiul ABC (din ipoteza) echilateral si stim din clasa a VI-a ca mediana poate fi considerata si inaltime, si mediatoare, si bisectoare (din proprietatile triunghiului echilateral)stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este,
h_{\Delta ABC}=\frac{l\sqrt{3}}{2}.
Din ipoteza stim caMB=MC, deci triunghiul MBC este isoscel de baza BC, MD stim ca este mediana (din ipteza), dar si inaltime (conform teoremei de la proprietatile triunghiului isoscel), astfel calculand MD cu Teorema lui Pitagora obtinem BD^{2}=MC^{2}-MD^{2}<br /> \\BD^{2}=(6\sqrt{3})^{2}-(6\sqrt{2})^{2}<br /> \\BD^{2}=108-72<br /> \\BD^{2}=36<br /> \\BD=\sqrt{36}<br /> \\BD=6 cm
Cum BD= DC obtinem BD=DC=6, deci BC=12 cm. Cum triunghiul ABC echilateral obtinem ca AB=AC=BC=12 cm. Cum am aflat laturile triunghiului echilateral ABC putem sa aflam si pe AD, dupa cum am spus si mai sus AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} cm.
In triunghiul MAD stim  MA=6, MD=6\sqrt{2} cm (din ipoteza) si  AD=6\sqrt{3}, iar daca ne uitam cu atentie si aplicam reciproca lui Pitagora obtinem ca triunghiul este dreptunghic.
Deci A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{2}.

Valoarea absoluta a unui numar rational, modulul unui numar rational, ordonarea numerelor rationale

Astazi o sa invatam despre valoarea absoluta a unui numar rational sau modulul unui numar rational si cum sa ordonam numerele rationale.
Astfel valarea absoluta a unui numar rational (modulul cum il stim) se noteaza astfel |x| si se defineste:
<br /> |x|=<br /> \\x,\;\; daca \;\; x>0<br /> \\0,\;\; daca \;\; x=0<br /> \\-x\;\; daca \;\; x<0<br />
Proprietatile numarului rational
<br /> |x|=0, daca si numai daca x=0
|x|\geq 0, pentru oricare  x\in Q
|x|=|-x|, pentru oricare  x\in Q
|xy|=|x|\cdot |y| , oricare  x, y\in Q

Ordonarea numerelor rationale
Dintre doua numere rationale diferite mai mare, este cel care este situat pe axa numereor la dreapta celuilalt.
a<b
Exp:
Ordonati crescator numerele
<br /> \\a=\frac{12}{5}<br /> \\b=\frac{12}{7}<br />
Reprezentam pe axa numerelor
Ordonarea numerelor rationale in exemple
sau le ordonam cum am invatat in clasa a VI-a daca numerele sunt pozitive, adica ne uitam la numitorul fractiilor daca avem acelasi numarator, iar daca impartim acelasi numarator la numitori diferiti si unul dintre numitori este mai mare si celalalt mai mic, atunci cel mai mare numar este cel care are numitorul mai mic (pentru ca il impartim la un numar mai mic).
Dintre doua numere rationale negative este mai mare cel care are modulul mai mic.
Exercitii
1) Scrieti in ordine crescatoare numerele:
<br /> -2,5; -7,3; 0; -1,5; +3,4; -2,8; +4,5; -5,3; -5,(8); +3,8(3); -8; -3\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4}; 4; -\frac{3}{5}; \frac{6}{5}<br />
Ca sa ordonam numerele lucram fractiile:
<br /> \\-3\frac{1}{2}=-\frac{3\cdot 2+1}{2}=-\frac{7}{2}=-3,5<br />
transformat in fractie zecimala
<br /> \\2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4}=2,25<br /> \\-\frac{3}{5}=-0,6<br /> \\\frac{6}{5}=1,2<br />
am transformat fractiile ordinare in fractii zecimale.
Incepem prin a ordona crescator numerele:
<br /> -8< -7,3< -5,(8)< -5,8< -3\frac{1}{2}< -2,8< -2,5< -1,5< -\frac{3}{5}< 0< \frac{6}{5}< 2\frac{1}{4}< 3,4< 3,8(3)< 4< 4,5<br />
Daca le asezam pe axa numerelor rationale obsevam ca numerele rationale negative mai mari se duc spre ‘minus infinit’, iar cele pozitive se duc spre ‘plus infinit’. Si aplicam si faptul ca dintre doua numere rationale negative mai mare este cel care are valoarea absoluta (modulul) a numarului mai mica.
2) Aratati ca
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}<1<br />
Incercam sa-l scriem fiecare fractie astfel incat sa ni se reduca anumiti termeni:
<br /> \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{2011\cdot 2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{1}{1}-\frac{1}{2012}=<br /> \\\frac{2012-1}{2012}=\frac{2011}{2012}<1<br />
fractia \frac{2011}{2012}=0,9.... deci mai mica decat 1
Fractie subunitara.