Exercitii-intervale in R

Astazi o sa efectuam cat mai multe exercitii intervale in R :
1) Se considera multimile:
<br /> \\A=\left\{x\in R|-2\leq x<3\right\}<br /> \\B=\left\{x\in R| -4<x\leq 1\right\}
a) Scrieti multimile A si B sub forma de interval
b) Determinati urmatoarele multimi
<br /> \\ C=\left\{x| x\in A\;\; si \;\;x\in B\right\}<br /> \\D=\left\{x| x\in A\;\; si \;\; x\in N^{*}\right\}<br /> \\E=\left\{x| x\in B\;\; si \;\; x\in Z^{*}\right\}<br /> \\F=\left\{x| x\in A\;\; si \;\; x\in B\right\}
Solutie:
<br /> \\A=[-2; 3)<br /> \\B=(-4;1]<br /> \\C=\left\{ -2; -1; 0; 1;\right\} sau ca interval [-2, 1]
\\D=\left\{1; 2\right\}<br /> \\E=\left\{-3; -2; -1; 1\right\}<br /> \\F=\left\{-2; -1; 0; 1\right\}
2) Calculati:
<br /> A\cup B; A\cap B; A-B; B-A<br /> \\A=\left\{x\in R|-1<\frac{3x+7}{2}\leq 11\right\}<br /> \\B=\left\{x\in R|-2\leq \frac{5x+9}{8}<3\right\}<br />
Solutie
Trebuie sa gasim multimile astfel daca inmultim
<br /> -1<\frac{3x+7}{2}\leq 11 |\cdot 2<br /> cu 2 o sa avem o inegalitate fara numitor, astfel obtinem:
<br /> \\-2<3x+7\leq 22 (-7)<br /> \\-2-7<3x+7-7\leq 22-7<br /> \\-9< 3x\leq 15 |:3<br /> \\-3<x\leq 5<br /> A=\left\{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}<br />
Sau daca scrise sub forma de interval elementele multimii
<br /> A=(-3; 5]<br />
iar pentru multimea B luam
<br /> -2\leq \frac{5x+9}{8} \\-2\cdot 8\leq 5x+9<3\cdot 8<br /> \\-16\leq 5x+9< 24 (-9)<br /> \\-16-9\leq 5x+9-9<24-9<br /> \\-25\leq 5x \\-5\leq x< 3<br /> \\ B=\left\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\right\},
iar daca scriem sub forma de interval obtinem:
<br /> B=[-5; 3)<br />
Calculam acum <br /> \\A\cup B=\left\{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}<br /> \\A\cap B=\left\{ -1; 0; 1; 2\right\}<br /> \\A-B=\left\{3; 4; 5\right\}<br /> \\B-A=\left\{-5; -4; -3;\right\}
iar daca scriem sub forma de interval obtinem:
<br /> \\A\cup B=[-5; 5]<br /> \\A\cap B=(-3; 3)<br /> \\A-B=[3; 5]<br /> \\B-A=[-5; -3]<br /> .
Deci trebuie sa rezovam cat mai multe exercitii intervale in R ca sa le intelegem mai bine.

Pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor

Primele notiuni care le invatam la geometrie sunt punctul, dreapta si planul, care dupa cum bine stiti sunt notiunile preliminare si cele mai simple. Dat fiind faptul ca stim ce este punctul, dreapta si planul, astazi vorbim de pozitii relative ale punctelor si ale dreptelor.
Pozitia relativa a punctelor

Un punct poate sa apartina unei drepte sau poate sa nu apartina unei drepte
Punct care apartine unei drepte
A\in d si B\notin d

Axioma. Oricare ar fi doua puncte distincte exista o dreapta care le contine, adica prin doua puncte distincte trece o singura dreapta.
prin doua puncte distincte trece o dreapta

Doua sau trei puncte se numesc coliniare daca apartin aceleiasi drepte .Daca nu apartin aceleiasi drepte se numesc necoliniare.
In figura de mai sus punctele A si B sunt coliniare.
Pozitia relativa a dreptelor
Dreptele pot fi:
coplanare
– necoplanare
Dreptele coplanare sunt situate in acelasi plan, exista un plan care le contine pe toate.
Dreptele necoplanare nu au nici un punct in comun si nici nu sunt paralele .
Iar cele coplanare pot fi:
-paralele
– concurente
-confundate
Dreptele paralele sunt dreptele care nu se intalnesc niciodata, nu au nici un punct in comun. Notam d || g
Pozitia relativa a dreptelor
Dreptele concurente au un singur punct in comun, se intalnesc intr-un singur punct.Notam d\cap g={M}
Drepte concurente
Dreptele confundate au toate punctele comune.

Problema

1) Se considera un paralelipiped

PARALELIPIPED DREPTUNGHICa) Copiati si completati
i) \\AB\cap AA^{'}={A}
ii) \\AD\cap BB^{'}={\oslash}
iii) \\AD\cap A^{'}D^{'}={\oslash}.

b) Numiti trei drepte concurente
Solutie:
AA', AD, AB; \\AB, BC, BB'; \\AD, DD' DC au cate un punct in comun, prima punctul a
– a doua punctul B, iar a treia punctul D, dreptele sunt concurente daca au un punct in comun

Piramida triunghiulara, tetraedrul: descriere si reprezentare

Asa cum am promis intr-un articol , o sa discutam si despre piramida triunghiulara si tetraedru.
Dupa cum am invatat la piramida patrulatera baza este un paralelogram (baza poate fi patrat, romb, dreptunghi), in cazul piramidei triunghiulare baza asa cum v-ati dat seama este un triunghi (echilatera, isoscel, dreptunghic), iar daca piramida este triunghiular regulata, baza este triunghi echilateral, iar pentru piramida patrulater regulata baza este patrat.

Def: Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare, numite varfuri.
Reprezentare
Tetraedru- reprezentare
Dupa cum am vorbit si la piramida patrulatera, vorbim si despre elementele componente:
-muchiile bazei: AB, AC, BC
-muchiile laterale: VA, VB, VB
-planul bazei (ABC)
-fetele laterale \Delta VBC; \Delta VAC; \Delta VAB
Aceleasi componente le avem si pentru piramida triunghiular regulata.
Diferenta dintre piramida triunghiular regulata si tetraedru este ca: tetraedrul are toate muchiile congruente, adica si muchiile bazei si muchiile laterale sunt congruente, deci fetele laterale si fetele bazei sunt triunghiuri echilaterale, iar la piramida triunghiular regulata baza este triunghi echilateral, iar fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, muchiile laterale sunt congruente.
La fel ca si la piramida patrulater regulata, piramida triunghiular regulata are si ea: apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea.
Def: Apotema piramidei triunghiulare este distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei a_{p}
Apotema bazei piramidei triunghiulare este distanta de la centrul cercului circumscris bazei triunghiului echilateral la o muchie a bazei a sa a_{b}.
Inaltimea intr-o piramida triunghiular regulata este distanta de la varful piramidei la punctul de intersectie al mediatoarelor (centrul cercului circumscris).
apotema piramidei, apotema bazei, inaltimea

Problema
1) Piramida regulata VABC are baza triunghiular echilateral cu aria de 36\sqrt{3}. Daca m(\prec VAB)=30^{0}, aflati aria triunghiului VAB.
Ip:
VABC piramida triunghiular regulata
A_{\Delta ABC}=36\sqrt{3}
\\m(\prec VAB)=30^{0}
Cl:
A_{\Delta VAB}=?
Dem:
Piramida triunghiulara
Cum baza piramidei este triunghi echilateral si mai stim si aria sa, aflam latura triunghiului echilteral din aria triunghiului ABC, astfel stim din clasa a VII-a ca aria intr-un triunghi echilateral este \frac{l^{2}\sqrt{3}}{4},iar pentru triunghiul din problema noastra A_{\Delta ABC}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 36\sqrt{3}\cdot 4=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow 36\cdot 4=l^{2}\Rightarrow l=\sqrt{36\cdot 4}\Rightarrow l=6\cdot 2 \Rightarrow l=12 cm, in prima parte pentru a afla latura triunghiului echilateral am folosit proprietatea fundamentala a proportiilor ( intr-o proportie produsul mezilor este egal cu produsul extremilor). Dupa ce am aflat latura bazei piramidei si stim ca baza este triunghi echilateral rezulta ca piramida este triunghiular regulata , deci fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, stiind m(\prec VAB)=30^{0}\;\; si\;\; \Delta VAB isoscel, constrim inaltimea VD, pentru a putea aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} sau functiile trigonometrice, stim ca AD=6 cm, deoarece intr-un triunghiului isoscel medianele, mediatoarele, inaltimile corespunzatoare bazei coincid, deci la noi VD este si mediana, de unde aflam AD.
Inaltimea pe o fata laterala intr-o piramida

Daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0} nu putem sa aflam nimic deoarece nu stim nici ipotenuza, nici cateta care se opune unghiului de 30^{0}, deci aplicam functiile trigonometrice
cos 30^{0}=\frac{cat. alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{VA}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{VA}\Rightarrow VA\sqrt{3}=12\Rightarrow VA=\frac{12}{\sqrt{3}}\Rightarrow VA=\frac{12\sqrt{3}}{3}\Rightarrow VA=4\sqrt{3} cm.
Baza o stim, ca sa aflam aria trebuie sa mai aflam si inaltimea, astfel stiind VA, aplicam Teorema lui Pitagora pentru a afla inamtimea sau Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, noi o sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, iar voi incercati cu teorema lui Pitagora deci  VD=\frac{VA}{2}\Rightarrow VD=\frac{4\sqrt{3}}{2}\Rightarrow VD=2\sqrt{3} cm.
Deci aria triunghiului VAB este:
A_{\Delta VAB}=\frac{baza \cdot h}{2}=\frac{AB\cdot VD}{2}=\frac{12\cdot 2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3} cm.
Deci imprtant la aceste probleme sunt notiunile pe care le-am invatat pana acum.

Divizibilitatea numerelor naturale – divizori si multipli

Inca din clasa a V-a am introdus notiunea de divizibilitate  iar acum o sa vorbim, o sa ne reamintim divizibilitatea numerelor naturale, adica notiunea de divizori si multipli.

Def: Fie „a” si „b” doua numere naturale. Spunem ca a divide b si notam „a|b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat b=a\cdot c sau spunem ca „a” este un divizor al lui „b”, daca exista un numar natural „c” astfel incat  b=a\cdot c . Matematic scriem: a,b \in N, a|b , daca \exists c\in N , unde N= multimea numerelor naturale, astfel incat b=a\cdot c

Exp:

2|6, deoarece exista un numar natural „c” astfel incat 6=2\cdot c (numarul natural ‘c’ este 3 ), deci 2 este un divizor al lui 6.

Obs: -Fie „n” un numar natural oarecare;  n|0 , deoarece exista un numar natural ‘c’ astfel incat  0=n\cdot c(numarul natural c este 0).
– 0|0, deoarece exista nu numar natural ‘c’ astfel incat sa se verifice relatia divizibilitatii.

Exercitii:
1)Determinati elementele multimii:
a)D_{14}
b)D_{18}
c) D_{24}
d) D_{14}\cap D_{18}
e) D_{14}\cap D_{24}
f) D_{18}\cap D_{24}
g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}
Solutie:

Daca suntem atenti la definitia divizibilitatii gasim divizorii lui 14 (divizorii lui 14 sunt acele numere care se impart exact fara rest), astfel :

a) D_{14}=\left\{1; 2; 7; 14\right\}, 1|14 deoarece exista un c=14 astfel incat 14=1\cdot 14 sau mai bine spus 14 se imparte exact la 1, restul se face asemanator.

b) D_{18}=\left\{1; 2; 3; 6; 9;18\right\}

c) D_{24}=\left\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\right\}

d) D_{14}\cap D_{18}=\left\{1; 2\right\}, la intersectie luam partea comuna a celor doua multimi.

e) D_{14}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

f) D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2; 3; 6\right\}

g) D_{14}\cap D_{18}\cap D_{24}=\left\{1; 2\right\}

2) Aratati ca numerele de forma x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+3^{n+2}\cdot 5^{n} sunt divizibile cu 27, unde n\in N^{*}.

Solutie
Ca sa aratam ca e divizibil cu 27 trebuie sa gasim un numar de forma 27\cdot alta cantitate, astfel incercam sa scriem numarul nostru in asa fel incat sa putem da factor comun o anumita cantitate, in cazul de fata ca sa dam factor comun pe 15^{n}, trebuie sa mai lucram ultimul termen
3^{n+2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 3^{2}\cdot 5^{n}=3^{n}\cdot 5^{n}\cdot 3^{2}=\left(3\cdot 5\right)^{n}\cdot 9=15^{n}\cdot 9.

Astfel

x=15^{n+1}+3\cdot 15^{n}+15^{n}\cdot 9
x=15^{n}\left(15+3+9\right)
x=15^{n}\cdot 27

Deci numarul nostru este divizibil cu 27.

In cazul exercitiului de mai sus am folosit si regulile de calcul cu puteri care le-am invatat in clasa a V-a.

Deci ca sa rezolvam exercitii trebuie sa ne folosim si de cunostintele dobandite anterior. Incercati sa rezolvati singuri urmatorul exercitiu:

3) Aratati ca numerele de forma x=72\cdot 12^{n}+3^{n+3}\cdot 4^{n+2} sunt divizibile cu 63, unde n\in N^{*}.
Solutie:
x=72\cdot 12^{n}+3^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{n}\cdot 4^{2}
Folosind regulile de calcul cu puteri obtinem ca:
x=72\cdot 12^{n}+\left(3\cdot 4\right)^{n}\cdot 3^{3}\cdot 4^{2}
Adica
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 27\cdot 16
Deci
x=72\cdot 12^{n}+12^{n}\cdot 432
Adica
x=12^{n}\left(72+432\right)
Asadar
x=12^{n}\cdot 504\Rightarrow x=12^{n}\cdot 63\cdot 8, deci este divizibil cu 63

Cum a murit Euclid,de ce si cine a fost

PARALELIPIPED DANGeometria lui Euclid a fost prima unealtă matematică. Vitala pentru înţelegerea lumii fizice, este predată în şcolile elementare dar simplitatea nenumaratelor ei axiome poate fi înşelătoare. Isaac Newton a trecut în revistă teoremele lui Euclid şi „s-a minunat cum poate  Euclid să se distreze scriind demonstraţii pentru ele”.
Despre Euclid  si viata acestuia nu se ştie aproape  nimic decat ca a fost  cu contemporan cu Arhimede si cu o generaţie mai tânăr decât Aristotel. Se pare ca a urmat cursurile Academiei înfiinţate de Platon  devenită cea mai importantă şcoală de matematică a acelei epoci.

Dintr-o legenda stim că Ptolemeu i-a cerut lui Euclid să-i prezinte o cale mai simplă de înţelegere a geometriei decât studiul „Elementelor”. Euclid ar fi raspuns nonsalant: „In geometrie nu există o cale regală”.

„Elementele”sunt alcătuite din 13 cărţi si conţin o sinteză a muncii înaintaşilor sai cu referiri  la teoremele lui Pitagora şi Eudoxus. Primele şase cărţi stabilesc teoremele geometriei plane. (Cartea I include teorem a lui Pitagora,  principiul care stă la baza explicării naturii prin geometrie.)

Este probabil si motivul pentru care opera lui Euclid a rezistat atâta timp.Euclid dezvoltă o serie de probleme şi teoreme care constituie miezul cărţilor. „Elementele” conţin 467 de teoreme. Din punctul de vedere al istoriei, cel mai important este celebrul postulat cinci, potrivit căruia, dacă se dau o linie dreaptă A şi un punct în plan, atunci prin acest punct se poate trasa o singură dreaptă B paralelă cu A.
După aceea s-au dezvoltat geometriile noneuclidiene, care au pus în sfârşit capăt hegemoniei geometriei euclidiene. Astăzi, pe lângă geometria spaţiului plan, a lui Euclid, există şi geometriile spaţiilor curbe, numite geometriile hiperbolice şi respectiv parabolice.

Euclid a murit în jurul anului 270 î.Hr. Dintr-o descriere a personalităţii lui  reiese că era un om corect, modest şi un savant riguros.

Scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal

Din clasa a IV-a va reamintiti scrierea si citirea numerelor naturale in sistemul de numeratie zecimal.
Scrierea numerelor folosita in clasele I-IV este o scriere care foloseste cifrele arabe, acestea sunt: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Cand scriem un numar cifrele se pot repeta sau nu. Acest mod de scriere a unui numar natural se numeste scrierea in baza zece sau scrierea in sistem zecimal.
Un numar in baza zece de doua cifre se reprezinta prin scrierea \bar{ab}, unde ‘a’ si ‘b’ desemneaza cifre, nu tot timplul diferite, dar a\neq 0<br /> \\ \bar{ab}=10\cdot a+1\cdot b.
Exp:
13=1\cdot 10+3\cdot 1.
Un numar natural oarecare de trei cifre se reprezinta prin scrierea \bar{abc}=100\cdot a+10\cdot b+c\cdot 1, unde a,b,c cifre nu neaparat distincte a\neq 0.
Numerele naturale scrise in ordinea 0, 1, 2, 3, 4,...,9, 10, 11,... formeaza sirul numerelor naturale.
Pentru a intelege mai bine modul de rezolvare a exercitiilor care contin numere in baza zece o sa rezolvam cat mai multe:
Exercitii:
1) Determinati numarul natural de forma \bar{ab} scris in baza 10 pentru care:
 \bar{ab}=5a+3b\Rightarrow 10\cdot a+1\cdot b=5a+3b\Rightarrow 10a-5a=3b-bc 5a=2b,
deci a=2 si b=5, iar pentru a ne convinge ca am rezolvat corect facem proba:
\bar{25}=5\cdot 2+3\cdot 5\Rightarrow \bar{25}=10+15\Rightarrow \bar{25}=25.
Stim ca \bar{25}=2\cdot 10+1\cdot 5\Rightarrow \bar{25}=20+5\Rightarrow \bar{25}=25.
Stim asta din scrierea numerelor in baza 10 pe care am invatat-o mai sus.
2) Aflati cifra ‘a’ din sistemul zecimal care verifica egalitatea
\bar{aaa}+\bar{aa}+a=369
Solutie
\bar{aaa}+\bar{aa}+a=369
Calculand
\\\bar{aaa}=100\cdot a+10\cdot a+1\cdot a<br /> \\\bar{aa}=10\cdot a+1\cdot a
\bar{aaa}+\bar{aa}+a=369\Rightarrow<br /> 100a+10a+1\cdot a+10a+1\cdot a+a=369\Rightarrow<br /> 111a+12a=369\Rightarrow<br /> 123a=369\Rightarrow a=369:123\Rightarrow a=3
Iar daca inlocuim a in egalitate obtinem
333+33+3=366+3=369.
3) Aflati cifrele a,b,c (in baza 10) stiind ca: \bar{ab}+\bar{bc}+\bar{ca}=\bar{abc}
Solutie
Scriind toate numerele de mai sus din baza zece in sistemul zecimal obtinem:
10\cdot a+1\cdot b+10\cdot b+1\cdot c+10\cdot c+1\cdot a=100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c<br /> \\10a+b+10b+c+10c+a=100a+10b+c<br /> \\11a+11b+11c=100a+10b+c<br /> \\11b+11c-10b-c=100a-11a<br /> \\b+10c=89a
Acum trebuie sa gasim numerele care verifica egalitatea.
Cum a\neq 0
luam a=1 obtinem
89\cdot 1=b+10c, pentru a ajunge la numarul  89\cdot 1 luam c=8 si obtinem 89\cdot 1=10\cdot 8 si deci b=9
Deci cel mai important este sa scriem numerele din baza zece corect.

Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Intervale in R

Exercitiile cu intervale in R probabil le-ati mai intalnit si in alte clase, dar sub alta forma. De exemplu cand rezolvam inecuatiile obtineam multimea solutiilor ceva de genul x\geq 3, adica scriam x\in\left\{4,5,6,7......\right\}, dar acest lucru puteam sa-l scriem si sub alta forma astfel x\in \left(3; +\infty\right), ceea ce inseamna ca am scris solutia inecuatiei sub forma de interval, acesta ar fi un interval nemarginit.

Dar daca aveam doua inecuatii si trebuia sa scriem partea comuna a solutiilor, adica intersectia celor doua solutii, intersectia o putem scrie si sub forma interval, adica operatii cu intervale, dar despre asta o sa vorbim in alt articol.

Mai sus am mentionat notiunea de interval nemarginit,dar mai exista si intervale marginite, astfel definim:

Intervalele marginite sunt: intervale inchise si intervalele deschise
Fie a si b doua numere reale cu a\leq b.
Prin intervalul inchis \left[a, b\right] intelegem multimea A=\left\{x\in R| a\leq x\leq b\right\}, interval inchis adica tot timpul a trebuie sa fie mai mic sau egal decat x mai mic sau egal decat b tot timpul. Matematic scriem x\in \left[a,b\right]. Numerele a si b se numesc capetele intervalului sau extremitatile intervalului.

Exp:
Scrieti sub forma de interval multimea:
 A=\left\{x\in R|-5\leq x\leq 0\right\}
Solutia:x\in\left[-5; 0\right], reprezentand pe axa numerelor reale obtinem:
Interval inchis
Intervale deschise

Fie a si b doua numere reale cu  a<b.
Prin interval deschis \left(a,b\right) intelegem multimea A=\left\{x\in R| a<x<b\right\}, intervalul deschis, adica tot timpul ‘a’ trebuie sa fie mai mic strict decat ‘b’ tot timpul.
Obs: Diferenta dintre intervalul inchis si intervalul deschis este ca intervalul deschis nu-si contine capetele intervalului. Matematic scriem \left(a,b\right)\cup \left\{a,b\right\}=\left[a, b\right]
Exp: B=\left\{x\in R| -4<x<1\right\}

Solutia
x\in \left(-4; 1\right), deci daca este strict mai mic avem interval deschis, iar daca reprezentam pe axa numerelor reale obtinem:
Intervalul deschis al multimii B

Dar in afara de intervalele cu extremitatile dechise si inchise mai exista si intervale inchise la stanga deschise la dreapta si invers, astfel definim intervalul deschis la stanga inchis la dreapta:
<br /> \left(a,b\right]=\left\{x\in R| a<x\leq b\right\}<br /> , adica intervalul de mai sus nu-l contine pe ‘a’, dar il contine pe ‘b’.
Exp:
C=\left\{x\in R| 0<x\leq 4\right\}, atfel intervalul nostru este x\in \left(0;4\right]. Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval deschis la stanga inchis la dreapta

Iar intervalul inchis la stanga si deschis la dreapta il definim astfel:
\left[a,b\right)=\left\{x\in R| a\leq x<b\right\},
Adica x ‘se plimba’ in interval, iar intervalul de mai sus il contine pe ‘a’, dar nu-l contine pe’b’.
Exemplu:
D=\left\{x\in R| -4\leq x < 1\right\}, astfel intervalul nostru este: x\in \left[-4, 1\right). Reprezentarea pe axa numerelor reale este:
Interval inchis la stanga si deschis la dreapta.

Iar despre intervale nemarginite si mai multe exercitii o sa discutam in alt articol.
Deci ca sa intelegem foarte bine intervalele trebuie sa stim cum le definim si cum le reprezentam, deoarece mai tot timpul la Evaluarea Nationala apare cate un exercitiu in care sunt implicate intervale in R.

Operatii cu numere intregi

Este foarte important sa intelegem operatiile cu numere intregi, din acest motiv prezentam astazi ordinea efectuarii operatiilor cu numere intregi. Chiar daca la prima vedere ni se pare greu sa intelegem cum se efectueaza exercitiile care contin numere intregi, cu mult exercitiu ajungem sa intelegem si mai mult sa ne si placa. O sa incepem cu cateva exercitii simple care contin operatii cu numere intregi:
1) Calculati
a) -7+4\cdot (-2)\\ -7-8= -15

Ca sa intelegem trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor astfel prima data efectuam operatia de inmultire 4\cdot (-2), la numere intregi trebuie sa tinem cont de semn, adica produsul a doua numere de semne contrare ((-)\cdot (+)=(-)) este un numar negativ, astfel obtinem -8, iar pentru rezultatul final ca sa intelegem mai usor se da semnul comun celor doua numere si acestea se aduna (daca au acelasi semn).

b)  3-2\cdot\left\{5-3\cdot \left[4-(-2):(-1)\right]\right\}=3-2\cdot \left[5-3\cdot (4-2)\right]=
Astfel obtinem
3-2\cdot (5-3\cdot 2)=\\  3-2\cdot (5-6)=  3-2\cdot(-1)=  3+2=5
La fel ca si la primul exercitiu, trebuie sa tinem cont de ordinea efectuarii operatiilor, dar acest lucru il invatam din clasele primare, aici trebuie sa stim regula semnelor pentru inmultire si pentru adunare, adica:

<br /> \\(-)\cdot(-)=+<br /> \\(-)\cdot(+)=(-)<br /> \\(+)\cdot(-)=(-)<br /> \\(+)\cdot(+)=(+)

Exemple:
<br /> \\(-5)\cdot(-3)=+15<br /> \\(-5)\cdot(3)=-15<br /> \\(+5)\cdot(-3)=-15<br /> \\(+5)\cdot(+3)=15<br />

Exercitiu:

c) <br /> -256+14\cdot(-2)+(-10)^{2}+441:(+21)=<br /> \\-256-28+100+21=<br /> \\-284+121=-163<br /> . Trebuie sa avem grija la operatiile de ordinul III. In cazul de fata cand ridicam un numar negativ la un numar pozitiv obtinem tot un numar pozitiv.

d)(-7)^{5}\cdot(-7)^{12}:\left[(-7)^{3}\right]^{5}+13=<br /> \\(-7)^{5+12}:(-7)^{15}+13=<br /> \\(-7)^{17-15}+13=(-7)^{2}+13=49+13=62<br />

Astfel trebuie sa tinem cont de regulile de calcul cu puteri pentru a obtine rezultate corecte, iar cu mult exercitiu, rezolvarea exercitiilor nu mai e asa grea. Reguli care le-am invatat in clasa a v-a.