Numere reale, Multimi de numere

Acum ca am trecut de Evaluarea initiala o sa invatam, de fapt o sa aprofundam, notiunea de numere reale.
Stim inca din clasa a VII-a ca N\subset Z\subset Q\subset R. Unde
N= multimea numerelor reale
Z= multimea numerelor intregi
Q= multimea numerelor rationale
R= multimea numerelor reale
Ca sa intelegem fiecare multime si ce elemente contine trebuie sa stim cum definim fiecare multime:
<br /> N=\left\{0; 1; 2; 3; ...; n...\right\}
Obs: N^{*} este multimea numerelor naturale fara zero si o definim ca:
N^{*}=\left\{1; 2; 3; 4; ...n;...\right\}.
Obsrevam ca  N^{*}\subset N.
Multimea numerelor intregi (Z) se defineste astfel:
Z=\left\{...;-n; ...; -2; -1; 0; 1; 2;...;n\right\}
La fel ca si la multimea numerelor naturale definim multimea numerelor intregi fara zero
Z^{*}=\left\{...; -n;...; -2; -1; 1; 2;...; n;...\right\}.
Astfel Z^{*}\subset Z, dar stim si ca  N\subset Z.
Multimea numerelor rationale (Q) se defineste astfel:
Q=\left\{\frac{a}{b}| a\in Z, b\in Z^{*}\right\}
Deoarece daca b=0, atunci fractia nu ar mai avea sens.
La fel cum exista N^{*}, Z^{*} asa exista si  Q^{*}=Q-{0} numita multimea numerelor rationale fara zero.
Multimea numerelor irationale ( R-Q ) este multimea numerelor care se scrie de obicei sub forma de radical.
Multimea numerelor reale(R) este reuniunea multimii numerelor rationale cu multimea numerelor irationale.
Exercitii:
1) Fie multimea  A=\left\{\frac{8}{-4}; \sqrt{0,(4)}; \frac{-15}{-3}; -\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{4}; 3; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
Determinati multimile
 A\cap N; A\cap Z; A\cap Q; A\cap\left(R-Q\right); A-Z; A-Q; A-R
Astfel:
<br /> \\A\cap N=\left\{\frac{-15}{-3}; \sqrt{4}; 3\right\}
\\ A\cap Z=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3\right\}
\\A\cap Q=\left\{\frac{8}{-4}; \frac{-15}{-3}; +\sqrt{4}; 3; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\ A\cap\left(R-Q\right)= \left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\A-Z=\left\{-\sqrt{12}; \sqrt{0,(4)}; \sqrt{0,(2)}; \sqrt{5\frac{4}{9}}\right\}
\\A-Q=\left\{\sqrt{12}; \sqrt{0,(2)}\right\}
\\ A-R=\oslash.
Ca sa vedem mai usor fiecare numar in ce multime se afla, incercam ca pe fiecare numar in parte sa-l lucram, adica sa-l aducem la forma cea mai simpla. De exemplu in exercitiul nostru:
\frac{8}{-4}=-2 daca simplificam prin 4
\sqrt{0,(4)}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{9}, prima data transformam fractia zecimala periodica simpla in fractie ordianara si apoi folosim regulile de calcul ale radicalilor.
\sqrt{12}=2\sqrt{3}, am scos factorul (2) de sub radical
\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}, introducem intregul in fractie, iar apoi extragem radicalul, dupa ce folosim regulile de calcul cu puteri.
Deci ca sa rezolvam acest tip de exercitiu pe langa faptul ca trebuie sa stim fiecare multime, cum o definim, trebuie sa stim si regulile de calcul cu radicali (scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical), introducerea intregilor in fractii, simplificarea unei fractii printr-un numar.

Numerele rationale Multimea numerelor rationale

Inca din clasa a V-a, si a VI-a ati invatat despre numerele rationale, doar pozitive, acum o sa invatam si despre multimea numerelor rationale negative, dar si multimea numerelor rationale. Ne reamintim ca in clasa a VI-a am invatat sa aducem doua fractii la acelasi numitor si astfel sa calculam mai usor fara sa le mai transformam in fractii zecimale. Astfel o sa ne reamintim cum se calculeaza doua sau maai multe fraactii cu numitorii diferiti:
Exemplu:
a) \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 1+1\cdot 3}{4}=\frac{5}{4}
Astfel am gasit numitorul comun, care dupa cum bine va reamintiti se gaseste cel mai mic multiplu comun(c.m.m.m.c), adica se descompun numerele in produs de factori primi si se ia

Stiti ca numerele rationale le putem scrie sub forma unor fractii. Adica  \frac{a}{b}, iar daca ne aducem aminte din clasa a V-a \frac{a}{b}=a:b. Ne reamintim cum transformam o fractie ordinara in una zecimala si invers.
Din fractie ordinara in fractie zecimala imparteam numarul a la b, in ccazul de mai sus.
Exemplu
1) Transformati fractia ordinara in fractie zecimala
<br /> \frac{3}{4}=0,75
Adica am impartit numarul 3 la 4.
Multimea numerelor rationale pozitive o notam cu Q_{+}=\left\{ x | \exists a\in N^{*}, b\in N^{*}\;\;\; a.i \;\;\; x=\frac{a}{b} \right\} , unde  N^{*} dupa cum stiti este multimea numerelor naturale fara 0. Numerele a,b trebuie sa fie din multimea numerelor naturale fara zero.
Multimea numerelor rationale o notam cu Q= \left\{ x| \exists a \in Z, b\in Z^{*}\;\;\; a.i \;\;\; x=\frac{a}{b}\right\} , unde Z este multimea numerelor intregi, dupa cum bine stiti, adica contine si numerele pozitive dar si pe cele negative. Z=\left\{ -n,...,-3;-2;-1;0;1;2;3;...;n\right\} , iar Z^{*} reprezinta multimea numerelor intregi fara zero.
Dat fiind faptul ca am ne-am reamintit pana acum toate multimile pe care le-am invatat prezentam exercitii care ne ajuta sa intelegem mai bine notiunile pe care le-am prezentat:
1) Fie multimea
<br /> A=\left\{-\frac{2}{5};\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; -0,6; 0,(3); -7; \frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}<br />
Calculati
<br /> \\ a) A\cap N
\\ b) A\cap Z
\\ c) A\cap Q\
Astfel
<br /> \\A\cap N =\left\{\frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}
\\A\cap Z =\left\{-7; \frac{1}{0,(3)}; \frac{1}{0,25}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4}\right\}<br /> \\A\cap Q=\left\{ -\frac{2}{5}; \frac{1}{2}; 0,(3);-0,6;-7; -\frac{2}{3};\frac{1}{0,25}; \frac{1}{0,(3)}; -\frac{16}{8}; \frac{12}{2}; (-2)^{4} \right\} .
Obsevam ca multimea numrelor rationale contine si numerele intregi, si numerele naturale, dar si numerele rationale pozitive si negative.

Teorema catetei

Teorema catetei

Astazi o sa vorbim despre teorema catetei, care de asemenea joaca un rol important pentru a rezolva probleme in cazul in care stim o cateta si proiectia acesteia pe ipotenuza sau daca stim proiectia unei catete pe ipotenuza si ipotenuza. Astfel enuntul teoremei catetei este:
Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si proiectia acesteia pe ipotenuza.
 Teorema catetei
<br /> AB^{2}=BD\cdot BC<br />
in cazul in care vrem sa aflam cateta AB si stim BD, BC sau stim BD, AB si vrem sa aflam BC
sau
<br /> AC^{2}=CD\cdot BC<br /> .
in cazul in care vrem sa aflam cateta AC si stim DC, BC.
Exemplu:
In triunghiul dreptunghic ABC,  m(\prec A)=90^{0} , mediana AM, M\in (BC) este egala cu latura AB, Stiind ca AM=12 cm calculati:
a) lungimea proiectiilor BD si CD
b) lungimea catetei AC
Ip:
\\\Delta ABC dreptunghic
\\m(\prec A)=90^{0}
AM=12 cm
Cz: a) BD=?; DC=?
b) AC=?
Dem:
Teorema catetei aplicatie

AB=AM (din ipoteza), atunci triunghiul ABM isoscel, deci AB=12 cm. Stiim din clasa a VI-a teorema medianei, care ne spune ca ” Intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa din varful unghiului drept masoara jumatate din ipotenuza”. Astfel ipoteza la noi este verificata, avem un triunghi dreptunghic, astfel aflam BC
<br /> \\AM=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ 12=\frac{1}{2}\cdot BC<br /> \\ BC=24 cm.<br />
Stim ca AM=AB, dar AM=BM deoarece AM mediana (se numeste mediana unui triunghi segmentul care uneste un triunghi cu mijlocul laturii opuse), deci  AM=BM=AB=12 cm, deci triunghiul ABM este echilateral.

Masura unghiului
Cum triunghiul ABM echilateral rezulta ca  m(\prec ABM)=60^{0}. Deci m(\prec ACB)= 30^{0}. Acum in triunghiul ADB dreptunghic in D, cu  m(\prec BAD)=30^{0} aplicam teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, deci  BD=\frac{1}{2} \cdot AB. Deci BD=6 cm. Sau aplicam teorema catetei AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 144=BD\cdot 24\Rightarrow BD=\frac{144}{24}\Rightarrow BD=6 cm.
Cum BC=24 cm, BD=6 cm. Deci DC=24-6 =18 cm, iar pentru a afla AC aplicam teorema catetei AC^{2}=DC\cdot BC \Rightarrow AC^{2}=18\cdot 24\Rightarrow AC=\sqrt{18\cdot 24}\Rightarrow AC=12\sqrt{3} cm.
Deci ca sa rezolvam probleme ca cele de mai sus trebuie sa stim si cunostintele pe care le-am invatat in clasele anterioare.

Recapitulare clasa a VI-a Ecuatii,multimi si operatii cu numere naturale si rationale pozitive

Propunem un plan de recapitulare pentru clasa a VI-a, adica sa ne reamintim ce am invatat in clasa a V-a.
Astfel propunem urmatoarele teme:
-multimi
-operatii cu numere naturale si rationale pozitive
– ecuatii si inecuatii
Propun urmatoarele exercitii:
1) Se dau multimile  M=\left\{ x| x\in N^{*} \;\;\; si \;\;\; x\leq 9 \right\} ,
unde N^{*} multimea numerelor naturale fara zero
 T=\left\{ x|x\in M \;\; si \;\;x\;\; este \;\; par\right\}

Numarul de elemente al multimii M-T este:
Rezolvare
Multimea
<br /> M=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}<br />
Multimea <br /> T=\left\{2,4,6,8\right\}<br /> .
Atunci
<br /> M-T=\left\{ 1,3,5,7,9 \right\}<br />
Ca sa rezolvam exercitiile cu multimi corect luam prima data prima multime si o citim. In cazul de fata pentru multimea M avem conjunctia „si” care dupa cum bine stiti trebuie sa tinem cont de ambele ipoteze ale exercitiului, x trebuie sa fie mai mic sau egal decat 9, dar x trebuie sa apartina si multimii numerelor naturale fara 0.

Acelasi lucru si pentru multimea T, aici x apartine multimii M care am aflat-o din prima parte a exercitiului, dar x trebuie sa fie si par.
Numarul de elemente al multimii M-T este: 5.

2) Numarul 2,56 transformat intr-o fractie ordinara este egal cu:
Rezolvare:
<br /> 2,56=\frac{256}{100}=\frac{64}{25}<br />
Cum transformam o fractie zecimala in una ordinara?
Dupa cum ati invatat scriem linia de fractie, punem numarul la numarator, in cazul de fata la noi 256 si la numitor 1 urmat de atatea zerouri cate cifre sunt dupa virgula, la noi doua zerouri.

3) Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatia:
<br /> 2\cdot(x+7)-14=28<br />
Rezolvare:
<br /> 2x+14-14=28 \Leftrightarrow<br /> 2x=28 \Leftrightarrow<br /> x=14<br /> .

Teorema lui Pitagora

Este foarte important sa intelegem Teorema lui Pitagora, deoarece in aproape orice triunghi dreptunghic putem sa o aplicam daca stim ipotenuza si o cateta, sau cele doua catete ajutandu-ne foarte mult in geometrie.

Astfel enuntul teoremei lui Pitagora este:

Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii ipotenuzei este suma patratelor catetelor.
 BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}

Triunghiul dreptunghic. Teorema lui Pitagora
Observatie. Este foarte important ca sa intelegem ipoteza teoremei, adica tot timpul ca sa aplic teorema lui Pitagora trebuie sa avem un triunghi dreptunghic, (adica triunghiul sa aiba un unghi de 90^{0}).

Trebuie sa stim care este ipotenuza triunghiului (pentru ca felul in care desenam triunghiul dreptunghic si il notam difera de la o problema la alta, astfel triunghiul de mai sus are ipotenuza BC, dar puteam sa notez triunghiul altfel si astfel ipotenuza ar fi fost alta).

Exp:
Triunghiul ABC cu m(\widehat{ABC})=90^{0}, AB=4 cm, BC=3 cm. Calculati AC.
Ip:
 \Delta ABC, m(\widehat{B}=90^{0}), AB=4 cm, BC=3
Cz:AC=?
Dem:
Aplicatie Teorema lui Pitagora cm
triunghiul ABC dreptunghic,, stim ambele catete, deci ipoteza teoremei lui Pitagora este verificata.

Aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}
 AC^{2}=16+ 9
 AC^{2}=25

 AC=\sqrt{25}
 AC=5 cm

Deci in cazul de fata ipotenuza triunghiului s-a schimbat. Ipotenuza oricarui triunghi difera de la o problema la alta in functie de datele acesteia.

Recapitulare geometrie evaluarea initiala clasa a VIII-a

In clasa a VII-a  profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC  m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC) si AM mediana <br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm.
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
\Delta ABC<br /> m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)
AM mediana
<br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm, m(\prec DAM)=30^{0}.
Cz:
A_{\Delta ABC}=?<br /> P_{\Delta ABC}=?

Dem:
b
<br /> \\m(\prec DAM)=30^{0}<br /> \\AD\bot BC \Rightarrow m(\prec ADM)=90^{0}<br /> \\ m(\prec ADM)+m(\prec DAM)+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\90^{0}+30^{0}+m(\prec AMD)=180^{0}\Rightarrow<br /> \\120^{0}+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\m(\prec AMD)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMD)=60^{0}=m(\prec BMA)<br />
<br /> \\ m(\prec BMC)=180^{0}<br /> \\m(\prec BMC)=m(\prec BMA)+m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ 180^{0}=60^{0}+ m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMC)=120^{0}<br /> .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC  isoscel, avand un unghi de
<br /> 120^{0}celelalte doua alaturate bazei o sa aiba  60^{0}:2=30^{0}. Rezulta ca  m(\prec ACB)=30^{0}. Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}, fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0} obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
<br /> \\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow<br /> \\1024=256+AC^{2}\Rightarrow<br /> \\ 1024-256=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\768=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\AC=\sqrt{768}<br />
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem AC=16\sqrt{3}
Astfel
<br /> P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC<br /> \\=16+32+16\sqrt{3}=<br /> \\= 48+16\sqrt{3}=<br /> \\16(3+\sqrt{3}).
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic
<br /> A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{2}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{2}<br /> \\ 128\sqrt{3} cm^{2}.
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
<br /> AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{32}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{32}=<br /> \\8\sqrt{3}

D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
<br /> \Delta ABC isoscel AB=AC
BC baza
 D\in AC a.i AD=DC
E\in AB a.i AE=EB
 DE=12 cm
P_{\Delta ABC}=88 cm
Cz:
<br /> AB=?; AC=?<br />
Dem:D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL
<br /> P_{\Delta ABC}=88 cm
 AB+AC+BC=88 cm
\\DE– linie mijlocie, atunci
 DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.
 AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm<br />
Cum <br /> AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm<br />
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem  AB+AC=64 cm.
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.

Recapitulare pentru clasa a VIII-a. Evaluarea initiala

Acum ca am ajuns in clasa a VIII-a si stim ca peste cateva luni vine Evaluarea Nationala. La evaluarea initiala trebuie sa stim clasa a VII-a, care joaca un rol important pentru examen. Propun sa recapitulam din clasa a VII- a Calculul algebric. Incepem cu cateva exemple:
1 Efectuati calculele:
a)  (x+1)^{2}-x(x+5)=<br /> x^{2}+2x+1-x^{2}-5x=<br /> -3x+1<br />
Astfel in prima paranteza am aplicata formula de calcul prescurtat care am invatat-o prima data in clasa a VII-a <br /> (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, unde a=x si b=1, iar pentru paranteza a doua aplicam distributivitatea inmultirii fata de adunare( adica inmultim pe x cu fiecare termen din paranteza, dar trebuie sa tinem cont de semn, adica semnul din fata parantezei schimba toate semnele din acest motiv avem -5x), dupa ce am terminat distributivitatea vedem ce termeni asemenea avem in cazul nostru  x^{2} se reduce, iar alti termeni care ii avem asemenea sunt  -5x+2x =-3, daca ne uitam la regula semnelor .
2 Aflati solutia ecuatiilor
1)  2(x+2)+\sqrt{x^{2}-4x+4}=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+\sqrt{(x-2)^{2}}=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+|x-2|=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4+x-2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 3x+2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x=7
si
2x+4-(x-2)=2x+9 \Leftrightarrow<br /> 2x+4-x+2=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x+6=2x+9 \Leftrightarrow<br /> x-2x=9-6 \Leftrightarrow<br /> -x=3 \Leftrightarrow<br /> x=-3<br /> s={-3;7}<br />
Procedeul de calcul:
am desfintat prima paranteza cu ajutorul distributivitatii inmultirii fata de adunare, apoi incercam sa-l scriem expresia de sub radical ca un numar la puterea a doua, deoarece stiim ca  \sqrt{a^{2}}=|a|, astfel  x^{2}-4x+4 la o privire atenta vedem ca este parte a doua a formulei de calcul prescurtat a^{2}-2ab+b^{2} putem considera  x^{2}=a^{2}, 4 putem sa-l scriem ca  2^{2}, adica b=2 si astfel putem scrie radicalul ca  (x^{2}-2)^{2}, astfel \sqrt{(x^{2}-2)^{2}}=|x-2|. Stiim din clasa a VI-a ca
|a|=<br /> \\ a,\;\;\; daca\;\; a>0<br /> \\-a\;\;\; daca \;\;a<0<br />
astfel |x-2|=<br /> \\ x-2,\;\;\; daca\;\;\; x-2>0 \Rightarrow x>2<br /> \\-(x-2)\;\;\; daca x-2<0\;\;\; \Rightarrow x<2<br />
astfel ecuatia se imparte in doua ramuri:in prima ecuatie pentru partea pozitiva, adica x+2 gasim termeni asemenea (trecem necunoscutele in stanga si cunoscutele in dreapta ) facem calculele si obtinem solutia ecuatiei. Acelasi lucru si pentru partea negativa cu o mica exceptie adica luam -(x-2), trebuie sa avem grija la semnul din fata parantezei.