Cilindrul circular drept

Cilindrul circular drept face parte din categoria corpurilor rotunde, corpuri care in acest an scolar pentru elevii de clasa a VIII a joaca un rol destul de important, datorita faptului ca pentru Evaluarea Nationala apar probleme din acest capitol.
Incepem prin a desena un cilindru circular drept, a observa conventiile de desen, dar si notatiile precum si elementele componente, cat si cum calculam aria laterala, aria totala si volumul acestui corp.
elementele componente ale unui cilindru circular drept
Convetii de desen:
OA=OB=OA’=OB’=R (raza bazei sau raza cilindrului)
AB=A’B’= diametrul cercurilor de centru O si raza R.
AA’=G= generatoarea cilindrului
OO’=H= inatimea cilindrului.

Elementele cilindrului circular drept:
– bazele cilindrului cele 2 cercuri: C\left(O, R\right) si C\left(O', R'\right)
– dreptunghiul ABA’B’
– generatoarea G, care este egala cu muchia laterala, dar si inaltimea cilindrului, adica AA’=G=OO’=H

Generatoarea unui cilindru circular drept este egala cu muchia laterala a cilindrului
Inaltimea unui cilindru circular drept este egala cu distanta dintre cele doua baze ale cilindrului, care este egala si cu generatoarea cilindrului.
-OO’ se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.

Cum calculam aria laterala, aria totala si volumul cilindrului drept.

Foarte important sa stim ca cilindrul circular drept are aspectul unei prisme, astfel stim ca formula generala a unei prisme pentru calculul ariei este:
A_{laterala}=P_{bazei}\cdot H
Stim ca baza cilindrului circular este un cerc, astfel avem P_{baza}=2\pi\cdot R
Astfel aria laterala este A_{laterala}=A_{l}=2\pi\cdot R\cdot H
Iar aria totala este: A_{totala}=A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{B}
Aria bazei, cum o calculam.

Baza cilindrului circular este un cerc astfel avem ca aria cercului este:
A_{B}=\pi\cdot R^{2}
Astfel obtinem A_{t}=2\pi\cdot R\cdot H+2\cdot\pi\cdot R^{2}
deoarece H=G, adica inaltimea este egala cu generatoarea obtinem ca:
A_{t}=2\phi\cdot R\cdot G+2\cdot\phi\cdot R^{2}=2\phi \cdot R\left(G+R\right)
Iar volumul cilindrului circular drept este egal cu:
V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot R^{2}\cdot H, dar putem sa scriem si V=\pi\cdot R^{2}\cdot G

Aplicatii:

Un cilindru circular drept are volumul V=150\pi\;\; cm^{3} si aria sectiunii axiale de 60\;\; cm^{2}. Determinati raza si generatoarea cilindrului.

Demonstratie:
Stim ca volumul unui cilindru circular drept este egla cu V=\pi\cdot R^{2}\cdot H
De unde obtinem: 150\;\; \pi=\pi\cdot R^{2}\cdot H\Rightarrow 150=R^{2}\cdot H
Stim de mai sus ca H=G, astfel obtinem: 150=R^{2}\cdot G
Dar mai stim si ca aria sectiunii axiale este egala cu 60, observam ca aria sectiunii axiale este dreptunghiul ABA’B’
Astfel stim ca A_{ABA'B'}=L\cdot l=G\cdot 2\cdot R
Astfel obtinem 60=G\cdot 2\cdot R\Rightarrow R\cdot G=60:2\Rightarrow R\cdot G=30\Rightarrow G=\frac{30}{R}

Dar mai stim si ca R^{2}\cdot G=150\Rightarrow R^{2}\cdot \frac{30}{R}=150\Rightarrow R\cdot 30=150\Rightarrow R=150:30\Rightarrow R=5\;\; cm
Si astfel am obtinut ca R=5 cm, iar pentru a afla G=\frac{30}{R}=\frac{30}{5}=6\;\; cm
Deci am obtinut ca G=6 cm, adica generatoarea are 6 cm.
probleme rezolvate cu cilindru circular drept
Prezentam o problema care a fost data la o testare nationala
2. Desenati un cilindru circular drept
Dreptunghiul ABCD este o sectiune axiala a cilindrului. Inaltimea cilindrului este de 12 cm, iar diametrul [AB] ala uneia dintre baze are lungimea de 10 cm.
b) Calculati aria laterala a cilindrului
c) Calculati volumul cilindrului
d) Aratati ca cel mai scurt drum intre A si C, parcurs pe suprafata laterala a cilindrului, are lungimea mai mica de 20 cm.
Demonstratie:
cum arata un cilindru circulart drept Stim ca AD= 12 cm si AB=10 cm, astfel obtinem R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm, deci raza cilindrului este de 5 cm.

b) Calculam aria laterala a cilindrului A_{l}=P_{b}\cdot H
Mai intai calculam perimetrul bazei, P_{B}=2\pi\cdot r=2\pi\cdot 5=10\pi
Iar stim ca H=AD=12 cm si aria laterala este: A_{l}=10\pi\cdot 12=120\pi\;\; cm^{2}

c) V=A_{B}\cdot H=\pi\cdot 5^{2}\cdot 12=\pi\cdot 25\cdot 12=300\;\;cm^{3}.

d) Daca desfasuram suprafata laterala a cilindrului circular drept, obtinem dreptunghiul BB'C'C pozitiile punctelor A si D pe desfasurare vor fi A' respectiv D'.
desfasuratea laterala a cilindrului circular drept
Astfel avem ca:
BB'=2\pi \cdot R=2\pi\cdot 5=10\pi si astfel obtinem
A'B'=\frac{BB'}{2}=\frac{10\pi}{2}=5\pi
Iar B'C'=BC=G=12 cm

Asadar cel mai scurt drum intre A si C parcurs pe suprafata laterala a cilindrului circular drept este egala cu lungimea segmentului A'C'=\sqrt{A'B'^{2}+B'C'^{2}}=\sqrt{\left(5\pi\right)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25\pi^{2}+144}

Acum sa vedem daca A'C'<20
Astfel avem ca A'C'<20\Leftrightarrow\sqrt{25\pi^{2}+144}<20|^{2}\Leftrightarrow 25\pi{2}+144<400\Leftrightarrow 25\pi^{2}<400-144\Rightarrow 25\pi^{2}<256\pi^{2}<256:25\Leftrightarrow \pi^{2}<10,24
Acum stim ca 3,14\leq\pi\leq 3,15

Astfel consideram \pi=3,15 si obtinem
\left(3,15\right)^{2}=9,9225<10,24, deci cel mai scurt drum intre A si C este mai mic de 20 cm.

Simetria fata de o dreapta

Majoritatea uita notiunea de simetria fata de o dreapta, adica simetricul unui punct fata de o dreapta sau, mai mult, unui dintre voi stiti ce inseamna dar nu stiti sa o construiti. Astfel stim de la simetria unui punct fata de un punct ca:
Simetricul unui punct A fata de un punct O este punctul B cu proprietatea ca distanta de la A la O este egla cu distanta de la B la O, cu alte cuvinte ca O este mijlocul segmentului AB.
CUM DESENAM SIMETRICUL UNUI PUNCT FATA DE UN PUNCT

si notam: S_{O}A=B sau S_{O}B=A
Dar noi astazi o sa discutam despre simetria unui punct fata de o dreapta.

Definitie: Doua punct A si B se numesc simetrice fata de o dreapta d, daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].
cum arata simetria unui punct fa
Observatie: Daca doua puncte sunt simetrice in raport cu o dreapta atunci fiecare dintre ele este simetricul celuilalt fata de dreapta data.
La fel ca mai sus notam S_{d}A=B si citim simetricul punctului A fata de dreapta d este punctul B. Astfel daca avem
S_{d}A=B\Rightarrow d\perp AB, d\cap AB={O}, [OA]\equiv[OB]
Aplicatii: Fie D un punct pe ipotenuza [BC] in triunghiul dreptunghic ABC. Notam cu E, respectiv F simetricele punctului D fata de AB, respectiv AC. Aratati ca:

a) punctele E, A, F sunt coliniare
b) EF=2\cdot AD

Demonstratie:
Fie DE\cap AB=\left\{M\right\} si DF\cap AC=\left\{P\right\}
Si in dreptunghiul AMDP construim diagonala AD
Astfel avem triunghiurile \Delta AMD si \Delta AME
Astfel avem [AM]\equiv[AM] (latura comuna)
[MD]\equiv [ME] (E erste simetricul lui D fata de AB)
\widehat{AMD}\equiv\widehat{AME}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta AMD\equiv\Delta AME de unde obtinem ca \widehat{MAD}\equiv\widehat{MAE}
Dar si \Delta APD si \Delta APF adica avem [AP]\equiv[AP](latura comuna)
[PD]\equiv[PF](F este simetricul lui D fata de dreapta AC)
Dar si \widehat{APF}\equiv\widehat{APD}
Si cu cazul de congruente L.U.L obtinem ca \Delta APD\equiv\Delta APF
de unde obtinem ca \widehat{PAD}\equiv\widehat{PAF}

Si astfel avem ca m\left(\widehat{EAF}\right)=m\left(\widehat{EAM}\right)+m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{DAP}\right)+m\left(\widehat{PAF}\right)=2\cdot\left(m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{PAD}\right)\right)=2\cdot 90^{0}=180^{0}, deci punctele F, A, E sunt coliniare.
simetria unui punct fata de o dreapta

b) EF=2\cdot AD
Observam ca EF=EA+AF
Mai sus am demonstrat ca \Delta AEM\equiv\Delta ADM, de unde obtinem si ca [AE]\equiv[AD]
Dar mai stim si ca \Delta APD\equiv\Delta APF, adica [AD]\equiv[AF]
Si astfel obtinem EF=AE+AF=AD+AD=2\cdot AD, ceea ce trebuia sa demonstram.
2. Daca C\notin AB si D este simetricul punctului C fata de AB, aratati ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD
Demonstratie:

Fie AB\cap CD=\left\{O\right\}
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta AOC si \Delta AOD dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD
[AO]\equiv[AO] (latura comuna)
[CO]\equiv[DO](D este simetricul lui C fata de dreapta AB)
Astfel obtinemn cu cazul C.C ca
\Delta AOC\equiv\Delta AOD so obtinem ca [AC]\equiv[AD] (1)
Acum consideram triunghiurile:
\Delta COB si \Delta DOB, dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD si avem:
[CO]\equiv[DO] (deoarece D simetricul lui C fata de AB)
[BO]\equiv[BO](latura comuna) si cu cazul de congruneta C.C obtinem ca
\Delta COB\equiv\Delta DOB, de unde obtinem si ca [CB]\equiv[DB] (2)
Astfel avem triunghiurile:
\Delta ABC si \Delta ABD
Stim ca [AC]\equiv[AD] (din (1))
Dar si [CB]\equiv[DB] (din (2))
Si observam ca [aB]\equiv[AB] (latura comuna) si astel cu cazul de congruenta de la la truighiuri oarecare L.L.L obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD.
cum arata simetricul unui punct fata de o dreapta
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de simetricul unui punct fata de un punct, dar si simetria unui punct fata de o dreapta, notiuni care sunt destul de importante, constituind baza pentru ceea ce v-a urma.

Bisectoarea unui unghi Proprietatea bisectoarei

Despre bisectoarea unui unghi am mai invatat si in primul semestru la capitolul Unghi. Dar acum discutam si de proprietatea bisectoarei, cat si despre concurenta bisectoarelor intr-un triunghi, deoarece dupa cum am mai spus si intr-un alt articol, bisectoarea este una din liniile importante intr-un triunghi.

Astfel reamintindu-ne definitia bisectoarei spunem ca:

Definitie: Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, interioara unghiului si care care imparte  unghiul in doua unghiuri.

cum rezolvam problemele cu bisectoare

Proprietatile bisectoarei:
Un punct interior unui unghi este situat la egala distanta de laturile unghiului daca si numai daca apartine bisectoarei acelui unghi.
punctele interioare ale unui unghi
Avem in ipoteza [OZ bisectoare unghiului \widehat{XOY}
M\in [OZ

Concluzie: d(M, OX)=d(M, OY)

Astfel stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei din punctul dat pe drepata respectiva.

Stim ca [OZ este bisectoarea unghiului \widehat{XOY}, astfel avem:
\widehat{XOZ}\equiv\widehat{YOZ}
Mai stim si ca MA\perp[OX, A\in [OX\Rightarrow d\left(M, OX\right)=MA
Dar si MB\perp[OY, B\in [OY\Rightarrow d\left(M, OY\right)=MB
Iar in triunghiurile MAO si MBO, avem m\left(\widehat{MAO}\right)=m\left(\widehat{MBO}\right)=90^{0}, adica avem triunghiuri dreptunghice.
Mai stim si ca [MO]\equiv[MO](latura comuna)
Dar si \widehat{MOA}\equiv\widehat{MOB}
Deci cu cazul de congruenta de la triunghiurile dreptunghice I.U, avem ca
\Delta MAO\equiv\Delta MBO de unde obtinem ca [MA]\equiv[MB], adica d(M, OX)=d(M, OY)

locul geometric al bisectoarei unui unghi
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor situate la egala distanta de laturile unui triunghi.

Teorema. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor este situat la distanta egala de laturile triunghiului se noteaza cu I. Punctul de concurenta al bisectoarelor se numeste centrul cercului inscris.

Centrul inscris in triunghi este cercul care este tangent la laturile triunghiului, adica are in comun un singur punct cu fiecare latura a triunghiului.

cum arata bisectoarele intr-un triunghi
Observati ca AA’, BB’ si CC’ sunt bisectoare in triunghiul ABC, adica
– AA’ bisctoarea unghiului \widehat{BAC}
– BB’ bisctoarea unghiului \widehat{ABC}
– CC’ bisctoarea unghiului \widehat{ACB}
Iar punctul de intersectie il notam cu I, numit centrul cercului inscris.
cum se noteaza punctul de intersectie al bisectoarelor
Aplicatii:

In triunghiul \Delta ABC avem: D\in(BC), E\in(AC), F\in(AB) astfel incat AD\perp BC, \widehat{ABE}\equiv\widehat{CBE}, \widehat{ACF}\equiv\widehat{BCF}, BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}. Aratati ca [AB]\equiv[AC]
Demonstratie:

Observam ca [BE si [CF sunt bisectoarele unghiurilor \widehat{ABC}, \widehat{ACB} dar si BE\cap CF\cap AD=\left\{I\right\}, atunci obtinem si ca [AD este bisectoarea unghiului \widehat{BAC}, adica obtinem ca:
\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
Astfel consideram triunghiurile: \Delta BAD si \Delta CAD
unde am gasit ca:

\widehat{BAD}\equiv\widehat{CAD}
[AD]\equiv[AD] (latura comuna)
Dar si \widehat{BDA}\equiv\widehat{CDA} (deoarece AD\perp BC, adica formeaza un unghi de 90^{0})
Si cu cazul de congruneta U.L.U, obtinem ca \Delta BAD\equiv\Delta CAD, de unde obtinem si ca [AB]\equiv[AC] ceea ce trebuia sa demonstram.

bisectoarea unui unghi intr-un triunghi

Probleme in care aflam muchia unui cub

Se considera cubul ABCDA’B’C’D’ si punctele M\in [AA'], N\in [CC'] astfel incat MA=2\cdot MA' si NC=\frac{CC'}{3}. Daca MN=\frac{5\sqrt{19}}{3}, calculati: lungimea muchiei cubului.

Demonstratie:

Pentru a efectua  corect corpul geometric cu notiunile din problema stim ca:

MA=2\cdot MA'

Dar mai stim si ca AA'=MA+MA'\Rightarrow AA'=2MA'+MA'\Rightarrow AA'=3MA'\Rightarrow MA'=\frac{AA'}{3}

Mai stim si ca NC=\frac{CC'}{3}\Rightarrow CC'=3\cdot NC

Si mai stim si ca CC'=CN+NC'\Rightarrow 3NC=CN+NC'\Rightarrow 3NC-NC=NC'\Rightarrow NC'=2NC

Stim ca cubul are toate muchiile egal astel avem ca AA'=AB=BC=l

Astfel avem ca MA'=\frac{l}{3}, dar si NC=\frac{l}{3}

De unde obtinem si ca: MA=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

Dar si NC'=2\cdot\frac{l}{3}=\frac{2l}{3}

latura unui cub
Astfel am obtinut patrulaterul ACNM, observati ca am construit diagonala AC, din notiunile pe care le avem stim ca AC=l\sqrt{2} (diagonala in patratul ABCD), observam ca m\left(\widehat{ACN}\right)=90^{0}, astfel construind si drepata AN, obtinem triunghiul dreptunghic ACN si aplicand Teorema lui Pitagora obtinem: AN^{2}=AC^{2}+NC^{2}\Rightarrow AN^{2}=\left(l\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{3}\right)^{2}\Rightarrow AN^{2}={9)}^2l^{2}+\frac{l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{18l^{2}+l^{2}}{9}\Rightarrow AN^{2}=\frac{19l^{2}}{9}\Rightarrow AN=\sqrt{\frac{19l^{2}}{9}}\Rightarrow AN=\frac{l\sqrt{19}}{3}

Dar construim si diagonala A’C’, dar si segmentul MC’
Si la fel ca si mai sus obtinem triunghiul dreptunghic A’MC’, unde MC'=\frac{l\sqrt{19}}{3}, daca aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic A’MC’
problema rezolvata cu cubul

 

Astfel avem triunghiurile: \Delta A'C'M si \Delta ACN triunghiuri dreptunghice in A’ respectiv C, unde gasim ca [AC]\equiv[A'C']

Dar mai avem si [AN]\equiv[CN]
Si cu cazul de congruneta de la trunghiurile dreptunghice obtinem ca:
\Delta A'C'M\equiv\Delta ACN
Si astfel obtinem ca [C'M]\equiv[AN] dar mai avem si:

\Delta ACM si \Delta A'C'N
[AC]\equiv[A'C']
Si [C'N]\equiv[AM]
Si cu cazul de congruneta C.C obtinem:
\Delta ACM\equiv\Delta C'A'N si obtinem [A'N]\equiv[CM]

latura unui cub
de unde obtinem si ca AN=MN, astfel avem ca \frac{l\sqrt{19}}{3}=\frac{5\sqrt{19}}{3}\Rightarrow l=5\;\; cm

Asadar muchia cubului este de 5 cm.

Cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Prezentam cateva probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor. Pentru cei care nu stiti care sunt etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvatea problemelor click aici

Sa se afle 4 nr. consecutive impare, stiind ca, daca la suma lor marita de 8 ori se adauga 280 ,se obtine 2008 .

Solutie:

Consideram numerele naturale  impare: n, n+2, n+4, n+6

Si formam ecuatia: \left(n+n+2+n+4+n+6\right)\cdot 8+280=2008

Iar acum rezolvam ecuatia mai sus formata:

\left(4n+12\right)\cdot 8=2008-280\Rightarrow \left(4n+12\right)\cdot 8=1728\Rightarrow 4n+12=1728:8\Rightarrow 4n+12=216\Rightarrow 4n=216-12\Rightarrow 4n=204\Rightarrow n=204:4\Rightarrow n=51

Deci primul numar impar este 51, cel de-al doilea este n+2=51+2=53

Cel de-al treilea numar este n+4=51+4=55

Iar cel de=al patrulea n+6=51-6=57

Asadar numerele impare consecutive sunt 51; 53; 55; 57

 2. Consideram numerele in baza zece \bar{abc}\;\; \bar{cba}in care stim ca diferenta dintre numarul initial si rasturantul sau este 297, stiind ca b=3, aflati a si c.

Solutie: abc-cba=297,

Rescriind ecuatia  de mai sus obtinem: 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c-\left(c\cdot 100+10\cdot b+1\cdot a\right)=297

Stiind ca b=3 obtinem 100a+10\cdot 3+c-100c-10\cdot 3-a=297\Rightarrow 99a+30-99c-30=297\Rightarrow 99a-99c=297\Rightarrow 99\left(a-c\right)=297\Rightarrow a-c=297:99\Rightarrow a-c=3

Deci diferenta dintre primul numar si ultimul este 3, dar trebuie sa tinem cont si de faptul ca a, c\neq 0, dar si a<c

Pentru a=4, obtinem 4-c=3\Rightarrow 4-3=c\Rightarrow c=1

Asadar obtinem numarul 431

Iar rasturnatul sau este 134

Acum sa vedem daca se verifica 431-134=297

Deci se verifica.

Pentru a=5, obtinem 5-c=3\Rightarrow c=5-3=2

Si numarul gasit este 532 si rasturnatul sau este 235

La fel ca mai sus efectuam scaderea pentru a vedea daca se verifica 532-235=297

Deci se verifica.

Si asa mai departe pentru a=6, 7, 8, 9

 3. Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei iar peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama. Cati ani are fiecare in prezent?

Solutie:

Notam cu x varsta fiicei si cu y varsta mamei, astfel formam ecuatiile: x-6=0,2\cdot\left(y-6\right) (Cu 6 ani in urma varsta ficei era egala cu 0,2 din varsta mamei).

x+9=0,5\cdot\left(y+9\right) ( peste 9 ani varsta ficei va fi 0,5 din varsta pe care o va avea mama)

Astfel am obtinut doua ecuatii pe care incercam sa le rezolvam x-6=0,2\left(y-6\right)\Rightarrow x=\frac{2}{10}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6

Observati ca in prima ecuatie am scos necunoscuta x in functie de y pentru a putea inlocui in cea de-a doua ecuatie pentru a afla y, dar am transformat dintr-o fractie zecimala in fractie ordinara simplificand pe unde am putut, astfel inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem: x+9=0,5\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+6+9=\frac{5}{10}\left(y+9\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\left(y-6\right)+15=\frac{1}{2}\left(y+9\right)\Rightarrow ^{5)}\frac{y+9}{2}-^{2)}\frac{y-6}{5}=15\Rightarrow \frac{5\left(y+9\right)}{10}-\frac{2\left(y-6\right)}{10}=15\Rightarrow\frac{5y+45-2y+12}{10}=15\Rightarrow \frac{3y+57}{10}=15\Rightarrow 3y+57=150\Rightarrow 3y=150-57\Rightarrow 3y=93\Rightarrow y=93:3\Rightarrow y=31

Deci mama are 31 de ani, iar fiica: x=\frac{1}{5}\left(y-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\left(31-6\right)+6\Rightarrow x=\frac{1}{5}\cdot 25+6\Rightarrow x=5+6=11

Asadar fiica are 11 ani.

 4. Trei frati au primit impreuna 130 de lei.dupa ce primul a cheltuit doua treimi din partea sa. Al doilea a cheltuit trei sferturi din partea sa, iar al treilea a cheltuit doua cincimi din partea sa. Cei trei frati au ramas cu suma egala de bani. Ce suma de bani exprimata in lei a primit fiecare dintre frati?
Solutie:
 Stim ca impreuna cei trei frati au 130 lei adica
– suma primului frate o notam cu x
-suma celui de-al   doilea frate cu y
– suma celui de-al treilea frate cu z
Astfel formam prima ecuatie:
x+y+z=130
 – x-\frac{2}{3}\cdot x=y-\frac{3}{4}\cdot y=z-\frac{2}{5}\cdot z\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{3z}{5}
Astfel avem ca:
\frac{1}{3}\cdot x=k\Rightarrow x=3\cdot k
\frac{y}{4}\cdot y=k\Rightarrow y=4\cdot k
Si \frac{3}{5}\cdot z=k\Rightarrow z=\frac{5}{3}\cdot k
Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:
3\cdot k+4\cdot k+\frac{5}{3}\cdot k=130\Rightarrow 7k+\frac{5k}{3}=130\Rightarrow \frac{21k+5k}{3}=130\Rightarrow \frac{26k}{3}=130\Rightarrow k=\frac{130\cdot 3}{26}=\frac{390}{26}\Rightarrow k=15
Astfel primul a avut x=3\cdot k=3\cdot 15=45\;\; lei
Cel de-al doilea y=4\cdot 15=60\;\; lei
Iar cel de-al treilea z=\frac{5}{3}\cdot k=\frac{5}{3}\cdot 15=5\cdot 5=25 \;\; lei

Mediana in triunghi Concurenta medianelor unui triunghi

Liniile importante in triunghi joaca un rol crucial in rezolvarea problemelor, astfel intr-un triunghi liniile importante sunt: mediana, mediatoarea,bisectoarea si inaltimea,  ,dar si mediana

Astfel, astazi, discutam despre mediana si incepem prin a defini notiunea de mediana:

Definitie: Segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

cum definim mediana intr-un triunghi
Trebuie sa stim ca intr-un triunghi putem sa ducem trei mediane.
Daca construiti toate cele trei mediane intr-un triunghi o sa observati ca medianele sunt concurente, iar punctul lor de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului.
cum sunt medianele intr-un triunghi
Deci e important sa retinem urmatoarea teorema :

Teorema. Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul de intersectie se noteaza cu G, numit centru de greutate al triunghiului, fiind situat la doua treimi fata de varf si o treime fata de baza.

Astfel avem: \Delta ABC si avem AM\cap BN\cap CP=\left\{G\right\}, adica sunt concurente si punctul de intersectie se noteaza cu G.
Si mai stim si ca:
AG=\frac{2}{3}\cdot AM
BG=\frac{2}{3}\cdot BN
CG=\frac{2}{3}\cdot CP
Atentie intr-un triunghi oarecare medianele sunt concurente, dar nu si congruente (adica nu au aceiasi lungime)

Mai stimisi ca:
GM=\frac{1}{3}\cdot AM
GN=\frac{1}{3}\cdot BN
GP=\frac{1}{3}\cdot CP

Aplicatii:
1. Fie \Delta ABC, in care avem [AB]\equiv[AC], iar [BM], [CP] mediane. Aratati ca [BM]\equiv[CP].
Astfel avem in ipoteza
Ipoteza: \Delta ABC

[AB]\equiv[AC]
[BM], [CP] mediane.

Concluzie
[BM]\equiv[CP]].
Demonstratie:
medianele intr-un triunghi isoscel
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta ABM si \Delta ACP, in care stim ca
[AB]\equiv[AC] (din ipoteza, deoarece triunghiul ABC isoscel)
[AM]\equiv[AP](cum [AB]\equiv [AC], obtinem ceea ce am spus)
Dar si \widehat{BAM}\equiv\widehat{CAP}

Deci cu cazul de congruneta L.U.L, obtinem ca \Delta ABM\equiv\Delta ACP si astfel obtinem si ca [BM]\equiv [CP].

Deci trebuie sa remarcam ca medianele corespunzatoare laturilor congruente intr-un triunghi isoscel sunt congruente.

Nu acelasi lucru putem sa-l spunem si despre mediana corespunzatoare bazei intr-un triunghi isoscel.

Cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalaureat

Vreti sa aflati cum sa recapitulam mai usor pentru Simulare Bacalauret?

Raspunsul ar fi ca ar trebui sa incepem prin a ne reaminti temele pe care le avem pentru aceste examen, iar noi propunem sa incepem cu clasa a IX a. Asadar primul capitol ari fi progresiile, atat aritmetice cat si geometrice. Pentru cei care nu va mai reamintiti ce inseamna click aici.

Iar acum rezolvam cateva exercitii care s-au dat la examenele de Bacalaureat.

1. Intr-o progresie aritmetica \left(a_{n}\right){n\geq 1} avem a_{2}=7 si a_{10}=15. Calculati a_{2015}

Solutie: Cu formula teremnului general stim ca:

a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r

Adica a_{2}=a_{1}+\left(2-1\right)\cdot r\Rightarrow 7=a_{1}+1\cdot r\Rightarrow a_{1}+r=7

Dar si a_{10}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 15=a_{1}+\left(10-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{1}+9\cdot r=15

Astfel am obtinut inca o relatie, din cele doua relatii obtinem: a_{1}+r=7\Rightarrow a_{1}=7-r

Iar daca inlocuim in cea de-a doua relatie obtinem: a_{1}+9r=15\Rightarrow 7-r+9r=15\Rightarrow 8r=15-7\Rightarrow 8r=8\Rightarrow r=1

Astfel obtinem a_{1}=7-r\Rightarrow a_{1}=7-1\Rightarrow a_{1}=6

Astfel obtinem a_{2015}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r=6+\left(2015-1\right)\cdot 1=6+2014\cdot 1=6+2014=2020

2. Calculati suma 1+4+7+10+13+...+28+31

Observam ca termenii sumei sunt 1, 4, 7, 10, 13…,28,31

Adica teremenii consecutivi ai unei progresii aritemtice in care a_{1}=1, a_{2}=4,...,a_{n}=31

Astfel putem calcula r=a_{n+1}-a_{n}, adica r=a_{2}-a_{1}=4-1=3

Astfel am obtinut ratia r=3

Iar pentru a afla suma de mai sus calculam

S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}

Dar mai intai trebuie sa aflam cati termeni are suma si folosim formula termenului general: a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)\cdot r\Rightarrow 31=1+\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow 31-1=\left(n-1\right)\cdot 3\Rightarrow \left(n-1\right)\cdot 3=30\Rightarrow n-1=30:3\Rightarrow n-1=10\Rightarrow n=10+1\Rightarrow n=11

Deci suma de mai sus are 11 termeni si cu formula de mai sus obtinem: S_{11}=\frac{\left(1+31\right)\cdot 11}{2}=\frac{32\cdot 11}{2}=16\cdot 11=176

3. Determinati numarul  real x, pentru care numerele 2, x+2 si 10 sunt teremenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Solutie: Stim ca un sir de numere a_{1}, a_{2}, a_{3} sunt in progresie aritmetica, daca

a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}( adica trei termeni sunt in progresie aritmetica, daca teremnul din mijloc este media aritmetica a celorlalte doua)

x+2=\frac{2+10}{2}\Rightarrow x+2=\frac{12}{2}\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=6-2\Rightarrow x=4

4. Fie \left(a_{n}\right)_{n\geq 1} o progresie aritmetica de ratie r=2 in care a_{3}+a_{4}=8. Determinati a_{1}.

Solutie: Cu formula termenului general obtinem:

a_{3}=a_{1}+\left(3-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{3}=a_{1}+2\cdot 2\Rightarrow a_{3}=a_{1}+4

Iar a_{4}=a_{1}+\left(4-1\right)\cdot r\Rightarrow a_{4}=a_{1}+3\cdot 2\Rightarrow a_{4}=a_{1}+6

Astfel daca inlocuim in relatia de mai sus obtinem: a_{3}+a_{4}=8\Rightarrow a_{1}+4+a_{1}+6=8\Rightarrow 2a_{1}+10=8\Rightarrow 2\cdot a_{1}=8-10\Rightarrow 2\cdot a_{1}=-2\Rightarrow a_{1}=-2:2\Rightarrow a_{1}=-1

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor

Alina si Dan au impreuna 22 ani .Daca Dan ar fi de doua ori mai in varsta , tot i-ar mai trebui un an ca sa aiba de patru ori mai putin decat Alina . Sa se afle varstele celor doi copii . Multumesc !

Solutie:

Notam cu

– x varsta Alinei

– y varsta Dan

Astfel formam ecuatiile:

x+y=22 (Alina si Dan au impreuna 22 ani.)

2\cdot y+1=x:4 Dan ar fi de doua ori mai in varsta , tot i-ar mai trebui un an ca sa aiba de patru ori mai putin decat Alina.

Astfel avem ecuatile:

x+y=22

2y+1=\frac{x}{4}\Rightarrow 4\cdot\left(2y+1\right)=x\Rightarrow x=4\cdot 2y+4\cdot 1\Rightarrow x=8y+4

Astfel inlocuid in prima ecuatie obtinem:

8y+4+y=22\Rightarrow 9y+4=22\Rightarrow 9y=22-4\Rightarrow 9y=18\Rightarrow y=18:9\Rightarrow y=2

Deci Dan are 2 ani.

Iar Alina x=8\cdot 2+4\Rightarrow x=16+4\Rightarrow x=20

Deci Alina are 20 ani.