Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu AP=8\sqrt{3}

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca AP\perp (ABC), astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica AD\perp BC
Stim ca AD\subset (ABC), deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si PD\perp BC si astfel distanta de la P la BC este PD d(P, BC)=PD

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm
cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca PA\perp AB, Dar si PA\perp AC, stim si ca AD\perp BC
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie AE\perp PD, dar observam ca PD\subset(PBC), deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca AE\perp (PBC)

Deci avem ca d(A\left(PBC\right))=AE
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm
cum calculam distanta de la un punct la un plan

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
(PBC)\cap (ABC)=BC
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie PD\perp BC
Si Ad\perp BC
Astfel avem unghiul m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel \sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

cum calculam masura unghiului a doua plane

Exercitii rezolvate cu sume de fractii

Prezentam cateva exercitii rezolvate cu sume de fractii, mai complicate se pare, dat fiind faptul ca sunt trimise de vizitatorii MatePedia.

1) Calculati: 400 supra 81 minus 399 supra 81 plus 398 supra 81 minus 397 supra 81 plus…. 2 supra 81 minus 1 supra 81. Adica s-ar scrie cam asa …

\frac{400}{81}-\frac{399}{81}+\frac{398}{81}-\frac{397}{81}+....+\frac{2}{81}-\frac{1}{81}=  \left(\frac{400}{81}-\frac{399}{81}\right)+\left(\frac{398}{81}-\frac{397}{81}\right)+....+\left(\frac{2}{81}-\frac{1}{81}\right)=\frac{400-399}{81}+\frac{398-397}{81}+...+\frac{2-1}{81}=

\frac{1}{81}+\frac{1}{81}+...+\frac{1}{81}=

\frac{1+1+...+1}{81}=

\frac{200\cdot 1}{81}=\frac{200}{81}

Observati ca pentru a calcula suma de mai sus am grupat termenii sumei cate 2 pentru a efectua diferenta, unde am obtinut o suma in care numaratorul este 1. Acum trebuie sa stabilim de cate ori apare termenul 1 si astfel efectuam impartirea > 400:2=200 (deoarece termenii de mai sus i-am grupat cate 2) si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

2) Pentru ce numa n\in N, avem

\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{2010}{2011}

Pentru a calcula membrul drept rescriem suma \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{4\cdot 5}+...+\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

Observati ca termenii de mai sus s-au redus ramanand doar primul termen si ultimul, astfel egalitatea de mai sus devine: ^{\left(n+1\right)}1-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow \frac{n}{n+1}=\frac{2010}{2011}\Rightarrow 2010\left(n+1\right)=2011\cdot n\Rightarrow 2010\cdot n+2010=2011\cdot n\Rightarrow2011\cdot n -2010\cdot n=2010\Rightarrow n=2010

Deci numarul natural gasit este 2010.

3) Rezolvati ecuatia:

\frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus de preferat ar fi sa nu ne gandim sa gasim numitorul comun, sa amplificam si sa calculam cum am invatat, caci este o munca destul de grea si anevoioasa, astfel mai intai ar trebui sa ne gandim cum sa scriem fiecare numarator, astfel incat sa putem simplifica anumiti termeni. Astfel ecuatia rescriind-o obtinem: \frac{x-6}{2008}+\frac{x-2}{2012}=\frac{x-2008}{6}+\frac{x-2012}{2}\Rightarrow \frac{x-2014+2008}{2008}+\frac{x-2014+2012}{2012}=\frac{x-2014+6}{6}+\frac{x-2014+2}{2}\Rightarrow

Acum scriind suma de la numarator ca doua fractii obtinem urmatoarele fractii:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{2008}{2008}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{2012}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{6}{6}+\frac{x-2014}{2}+\frac{2}{2}\Rightarrow

Acum simplificand fiecare fractie obtinuta mai sus, obtinem:

\frac{x-2014}{2008}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{1}{1}=\frac{x-2014}{6}+\frac{1}{1}+\frac{x-2014}{2}+\frac{1}{1}\Rightarrow

Observati ca cifra 1 se reduce, aparand atat in membrul stang cat si in membrul drept de 2 ori  si astfel se reduc: \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}=\frac{x-2014}{6}+\frac{x-2014}{2}\Rightarrow \frac{x-2014}{2008}+\frac{x-2014}{2012}-\frac{x-2014}{6}-\frac{x-2014}{2}=0\Rightarrow \left(x-2014\right)\cdot\left(\frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)=0

Observam ca \frac{1}{2008}+\frac{1}{2012}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}

Si obtinem x-2014=0\Rightarrow x=2014

4) Simplificati fractia: \frac{2+\left(2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2\right)}{4^{1008}}

Mai intai calculam suma, dar putem sa o si rescriem astfel: 2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}+...+2, folosind formula S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}

Pentru cei care sunteti in calsa a IX stiti ca teremenii acestei sume sunt termenii unei progresii geometrice cu ratia: q=\frac{2^{2013}}{2^{2012}}=2, adica formula q=\frac{b_{n+1}}{b{n}}

Pentru cei din gimnaziu trebuie sa retineti formula de mai sus. Si  stim ca primul termen il notam cu b_{1}=2, iar q il obtinem observand la putere din cat in cat sunt termenii, iar baza se pastreaza. Observam ca mai sus avem puterile: 2013, 2012, 2011,....,1, 0

Astfel daca efectuam scaderea intre primii doi termeni obtinem 2013-2012=1 si baza pastrandu- se obtinem q=2^{1}=2

Astfel suma devine: S=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{2-1}=2\cdot\frac{2^{2013}-1}{1}=2\cdot 2^{2013}-2\cdot 1

=2^{2014}-2

Iar fractia devine: \frac{2+2^{2014}-2}{4^{1008}}=\frac{2^{2014}}{\left(2^{2}\right)^{1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2\cdot 1008}}=\frac{2^{2014}}{2^{2016}}^{(2^{2014}}=\frac{2^{2014}:2^{2014}}{2^{2016}:2^{2014}}=\frac{2^{2014-2014}}{2^{2016-2014}}=\frac{2^{0}}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Observati ca mai sus numitorul l-am rescris astfel pentru a putea simplifica fractiile: 4^{1008}=\left(2^{2}\right)^{1008}=2^{2\cdot 1008}=2^{2016}, adica am folosit regulile de calcul cu puteri.

Iar la numaratori observati ca doi termeni sau redus.

Si astfel am obtinut rezultatul de mai sus.

Asadar este important ca la acest gen de exercitii sa ne uitam cu atentie inainte de a incepe sa le rezolvam si sa studiem toate posibilitatile pe care le avem, astfel incat sa o alegem pe cea mai corecta si cea mai usoara.

Cum calculam aria proiectia unui triunghi

Prezentam o problema in ca calculam aria proectiei unui triunghi.

1. Un triunghi dreptunghic ABC are catetele AB= 3cm si AC = 4cm. Triunghiul ABC se proiecteaza pe planul alfa dupa triunghiul A’B’C’. Calculati aria triunghiului A’B’C’ in fiecare din cazurile :

a) m(unghiului((ABC),alfa))) = 60 de grade

b) aceeasi unghi 30 de grade

c) 45 de grade

  1. a) m(unghiului((ABC),alfa))) = 60 de grade

 

  1. b) aceeasi unghi 30 de grade

 

  1. c) 45 de grade

 

Stim ca

 

A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)

 

Dar mai intai aflam aria triunghiului ABC, astfel avem ca

 

A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=3\cdot 2=6\;\; cm^{2}

 

Astfel

 

A_{\Delta A'B'C'}=A_{\Delta ABC}\cdot \cos 60^{0}=6\cdot\frac{1}{2}=3\;\; cm^{2}

b) A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)=6\cdot\cos 30^{0}=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{1}=3\sqrt{3}\;\; cm^{2}

c)  A_{\Delta A'B'C'}=A_{ABC}\cdot \cos m\left(\widehat{(ABC),\alpha}\right)=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{1}=3\sqrt{2}\;\; cm^{2}

 

 

Probleme rezolvate cu ajutorul metodei figurative

Prezentam o problema care se rezolva cu ajutorul metodei figurative, dar si una care se rezolva cu procente.

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

Solutie:

Notam cu x a doua zi, cu y prima zi si cu z cea de-a treia zi.

Si stim ca in prima Petre citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi.

y=2\cdot x

In a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi.

z=\frac{1}{2}x

Si cartea are 56 de pagini, adica x+y+z=56

Astfel daca inlocuim in ultima ecuatie ceea ce stim mai sus obtinem

x+2x+\frac{1}{2}x=56\Rightarrow 3x+\frac{1}{2}x=56|\cdot 2\Rightarrow 2\cdot 3x+x=56\cdot 2\Rightarrow 6x+x=112\Rightarrow 7x=112\Rightarrow x=112:7\Rightarrow x=16

Deci in cea de-a doua zi Petre a citit 16 pagini, in prima zi a citit

y=2\cdot x\Rightarrow y=2\cdot 16=32

Iar in cea de-a treia zi a citit z=\frac{1}{2}\cdot x\Rightarrow x=\frac{1}{2}\cdot 16=\frac{16}{2}=16:2=8

Deci 8 pagini in a treia zi.

Altfel putem rezolva problema de mai sus cu ajutorul metodei figurative, astfel consideram segmentul :

Petre citeste o carte in 3zile. In prima zi el citeste de doua ori mai mult decat in a doua zi. Iar in a 3-a zi citeste jumătate din numarul de pagini din a doua zi. Cartea are 56 de pagini. Afla cate a citit in fiecare zi?

I zi —-

II zi —

II zi –

Si in cele trei zile a citit 56 de pagini, adica I+II+III=56

Adica 7-=56\Rightarrow -=56:7, adica -=8.

unde – reprezinta primul segment

Si am obtinut ca in a  treia zi a citit 8 pagini in a doua zi 8\cdot 2=16, iar in prima zi 8\cdot 4=32

2. Aflati cu ce procent se scumpeste un obiect stiind ca pretul initial este de 36 lei iar dupa scumpire el costa 43,2 .

Solutie:

36+p%36=43,2

Astfel incercam sa rezolvam ecuatia: p%36=43,2-36 si obtinem p%36=7,2

Adica p%=7,2:36

Dar

p%=0,2

Si astfel obtinem p=20 %

Deci obiectul s-a scumpit cu 20 %.

Probleme rezolvate cu unghiul diedru

Prezentam inca doua probleme in care calculam unghiul diedru a doua semiplane, pentru cei care nu va mai reamintiti cum se face dati click aici.

1.SABCD este piramida regulata cu varful in S si cu toate muchiile congruente.Determinati masura unghiului diedru format de semiplanele:

a) (ABS) si (ABD) ;

Mai intai aflam intersectia semiplanelor:

(ABS)\cap (ABD)=AB, adica muchia diedrului

cum calculam unghiul diedru

 

Fie O centrul bazei , iar N mijlocul segmentului AB, adica [AN]\equiv[NB], deoarece ABCD patrat  si AB=l , atunci AC=l\sqrt{2}

Observam ca triunghiul SAB este echilateral, deci rezulta ca SN\perp AB, SM\subset(SAB), ON\perp AB si ON\subset (ABD), deci

m\left(\widehat{(SAB),(ABD)}\right)=m\left(\widehat{SN, NO}\right)=m\left(\widehat{SNO}\right)

Cum triunghiul SON este dreptunghic in O, putem aplica functiile trigonometrice, dar mai intai aflam SM=\frac{l\sqrt{3}}{2} (inaltime in triunghiul echilateral SAB) OM=\frac{l}{2}(apotema bazei in piramida SABCD)

Si cu Teorema lui Pitagora aflam SO^{2}=SM^{2}-OM^{2}\Rightarrow SO^{2}=\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{l}{2}\right)^{2}\Rightarrow SO^{2}=\frac{3l^{2}}{4}-\frac{l^{2}}{4}\Rightarrow SO=\sqrt{\frac{2l^{2}}{4}}=\frac{l\sqrt{2}}{2}

Astfel, calculam \sin\widehat{SNO}=\frac{SO}{SN}=\frac{\frac{l\sqrt{2}}{2}}{\frac{l\sqrt{3}}{2}}=\frac{l\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{l\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

b) (BCS) si (BCA);

Observam ca: (BCS)\cap(BCA)=BC

La fel si mai sus triunghiul, in triunghiul SBC, ducem SM\perp BC, SM\subset(SBC),dar si OM\perp BC, OM\subset\left(BCA\right), astfel obtinem ca si mai sus m\left(\widehat{(BCS (BCA)}\right)=m\left(\widehat{SM,MO}\right)=m\left(\widehat{SMO}\right)

Dar la fel ca si mai sus triunghiul SMO este dreptunghic in O si obtinem
\sin\widehat{SMO}=\frac{SO}{SM}=\frac{\sqrt{6}}{3}

c)(SBA) si (SBC); (SBA)\cap(SBC)=SB

Astfel intersectia semiplanelor este dreapta SB, astfel ducem perpendiculara din A pe SB si din C pe SB.
cum calculam unghiul diedru a doua semiplane
Astfel avem AT\perp SB , AT\subset(SBA)
Dar si CT\perp SC, CT\subset(SBC)
Decin obtinem unghiul m\left(\widehat{(SBA),(SBC)}\right)=m\left(\widehat{AT,CT}\right)=m\left(\widehat{ATC}\right)
Stim ca AT si CT sunt inaltimii in triunghiurile echilaterale SBA si SBC, astfel obtinem CT=AT=\frac{l\sqrt{3}}{2}, deci obtinem triunghiul ATC isoscel.

Pentru a afla masura unghiului construim perpendiculara din T pe AC si cu teorema lui Pitagora aflam TO^{2}=TA^{2}-AO^{2}\Rightarrow TO^{2}=\frac{3l^{2}}{4}-\frac{2l^{2}}{4}\Rightarrow TO=\sqrt{\frac{l^{2}}{4}}=\frac{l}{2}
Acum construim si perpendiculara din A pe CT, adica AE, astfel pentru a afla AE stim ca: A_{\Delta TAC}=A_{\Delta CTA}\Rightarrow \frac{AC\cdot TO}{2}=\frac{CT\cdot AE}{2}\Rightarrow \frac{l}{2}\cdot \frac{l}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot AE\Rightarrow \frac{l^{2}}{4}:\frac{l\sqrt{3}}{2}=AE\Rightarrow AE=\frac{l^{2}}{4}\cdot\frac{2}{l\sqrt{3}}=\frac{l}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Astfel, daca aplicam functiile trigonometrice obtinem \sin\widehat{ATC}=\frac{AE}{AT}=
\frac{l\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2}{l\sqrt{6}}=
\frac{1\cdot 1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=
\frac{\sqrt{3}}{9}
cum calculam unghiul diedru a doua semiplane

d) (SAB) si (SAD).
La fel obtinem si pentru unghiul de mai sus.

O piramida triunghiulara regulata are inaltimea de trei cm si latura bazei de 4 cm . Calculeaza aria unei fete laterale si masura diedrului format de o fata cu planul bazei.

Demonstratie:
Stim ca in VABC VO inaltime, adica VO=3 cm si AB=4 cm
Stim ca fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, deci in triunghiul VBC construim perpendiculara VM, adica inaltimea in triunghiul isoscel VAC, stim ca VO=3 cm si a_{b}=OM=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}

Astfel in triunghiul dreptunghic VOM aplicam Teorema lui Pitagora,
VM^{2}=VO^{2}+OM^{2}\Rightarrow VM^{2}=3^{2}+\frac{4\cdot 3}{9}\Rightarrow VM=\sqrt{9+\frac{4}{3}}\Rightarrow VM=\sqrt{\frac{27+4}{3}}=\sqrt{\frac{31}{3}}=\frac{\sqrt{31\cdot 3}}{3}=\frac{\sqrt{93}}{3}.

Astfel aria A_{\Delta VBC}=\frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{4\cdot\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}=2\cdot\frac{\sqrt{93}}{3}=\frac{2\sqrt{93}}{3}\;\; cm^{2}

Dar avem si sa calculam m\left(\widehat{(VBC),(ABC)}\right)
(VBC)\cap (ABC)=BC
Deci ducem perpendicularele din V pe BC si din A pe BC si obtinem: VM\perp BC, VM\subset (VBC)
Dar si AM\perp BC, AM\subset(ABC)
Si obtinem unghiul m\left(\widehat{VM, AM}\right)=m\left(\widehat{VMA}\right)=m\left(\widehat{VMO}\right)
Stim ca OM=\frac{2\sqrt{3}}{3}

Deci putem aplica \tan\widehat{VMO}=\frac{VO}{OM}=\frac{3}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3:\frac{2\sqrt{3}}{3}=3\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}
unghiul a doua plane

Probleme rezolvate cu Teorema impartirii cu rest si cu Teorema celor Trei perpendiculare

Inca cateva probleme rezolvate cu teorema impartirii cu rest si teorema celor trei perpendiculare, rezolvate special pentru vizitatorii nostri.

1. Suma a 2 numere este 568. Aflati numerele stiind ca restul impartirii celui mai mare la cel mai mic este 28 si catul 14.

Rezolvare.

Notam cu x primul numar si y cel de-al doilea numar.

Astfel formam ecuatiile: x+y=568 suma a doua numere este 568, cu x>y

x:y, c=14\;\; si r=28

Deci cu teorema impartirii cu rest obtinem: x=14\cdot y+28=14y+28 cu r<I, adica r<y

Astfel daca inlocuim in prima ecuatie obtinem: 14y+28+y=568\Rightarrow 15y=568-28\Rightarrow 15y=540\Rightarrow y=540:15\Rightarrow y=36

Si x=14\cdot y+28=14\cdot 36+28=504+28=532

Deci cel mai mare numar este: 532 si cel mai mic numar este 36.

2. Determinati fractia a supra b, stiind ca este egala cu7 supra 5 si ca a ori b =1260

Solutie

Stim ca: \frac{a}{b}=\frac{7}{5}

Si a\cdot b=1260

Astfel avem \frac{a}{b}=\frac{7}{5}\Rightarrow a=\frac{7b}{5}

Astfel daca inlocuim in cea de-a doua ecuatie obtinem:

a\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7b}{5}\cdot b=1260\Rightarrow \frac{7}{5}\cdot b^{2}=1260\Rightarrow b^{2}=1260:\frac{7}{5}\Rightarrow b^{2}=1260\cdot\frac{5}{7}^{(7}\Rightarrow b^{2}=180\cdot\frac{5}{1}\Rightarrow b^{2}=900\Rightarrow b^{2}=30^{2}\Rightarrow b=30

Iar a\cdot b=1260\Rightarrow a\cdot 30=1260\Rightarrow a=1260:30\Rightarrow a=42

Astfel am obtinut a=42 si b=30.

3. In centrul O al unui dreptunghi se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia punctul M. Laturile dreptunghiului au lungimile de 10 cm, respectiv 18 cm, iar OM=12 cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Stim ca MO\perp {ABCD}
Deci MO\perp (ABC)
Si ON\perp BC

Mai mult, ON, BC\subset\left(ABC\right)
Cu teorema celor trei perpendiculare obtinem MN\perp BC si astfel am obtinut ca d(M, BC)=MN
Astfel triunghiul MON este dreptunghic in O.
Mai stim si ca, O este centrul dreptunghiului, adica O este mijlocul lui AC, dar si ON||DC, deci ON este linia mijlocie in triunghiul ABC astfel obtinem:
ON=\frac{DC}{2}=\frac{18}{2}=9\;\; cm astfel in triunghiul MON, obtinem: MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MN=\sqrt{144+81}\Rightarrow MN=\sqrt{225}=15 cm

Stim si ca (ADC)
OP\perp AD
Si cu Teorema celor trei perpendiculare: MP\perp AD
La fel ca mai sus OP este linie mijlocie in triunghiul ADC si cu teorema lui Pitagora obinem MP=15 cm.
cum calculam distanta de la un punct la o dreapta
Si astfel obtinem ca d\left(M,AD\right)=MP=MN=15 cm
Pentru a afla d(M,AB)
Stim ca MO\perp(ABCD)\Rightarrow MO\perp(ABC)
Construim OQ\perp AB

Stim si ca OQ, AB\subset(ABC)
Deci cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem:
MQ\perp AB
Si astfel obtinem: d(M, AB)=MQ
Stim ca O mijlocul lui AC si OQ||BC, deci cu Teorema liniei mijlocii obtinem OQ linie mijlocie OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\;\; cm

Deci in triunghiul MOQ aplicam Teorema lui Pitagora
MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow MQ^{2}=12^{2}+5^{2}\Rightarrow MO=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\;\; cm
La fel obtinem si pentru d(M, DC)=MQ.

cum calculam distanta de la un punct la o dreapta

Cum calculam lungimea unor segmente cand stim un raport

1. Daca M apartine [AB] si AB=18 cm, calculati lungimile segmentelor [AM] si [MB] in situatiile:
a) AM supra MB=2supra 7
Solutie:
\frac{AM}{MB}=\frac{2}{7}\Rightarrow AM=\frac{2}{7}\cdot MB
Stim ca M\in [AB]
Astfel avem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+MB\Rightarrow 18=\frac{2}{7}MB+\frac{7}{7}MB\Rightarrow 18=\frac{9}{7}\cdot MB\Rightarrow MB=18:\frac{9}{7}\Rightarrow MB=18\cdot\frac{7}{9}^{(9}\Rightarrow MB=2\cdot\frac{7}{1}\Rightarrow MB=2\cdot 7=14\;\; cm
Si AM=AB-MB\Rightarrow AM=18-14=4\;\; cm.

cum calculam lungimea unor segmente
b) AM supra AB= 2 supra 3
Stim ca
\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}
Stim ca AB=18 cm
astfel obtinem:
\frac{AM}{18}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=\frac{2}{3}\cdot 18^{(3}=\frac{2}{1}\cdot 6\Rightarrow AM=2\cdot 6=12\;\; cm
Cum AM=12 cm
Obtinem:
AB=AM+MB\Rightarrow 18=12+MB\Rightarrow MB=18-12\Rightarrow MB=6 cm

cum calculam lungimea unor segmente

2. Daca punctul P apartine [AB] , astfel incat AP supra PB=3 supra 5, calculati
a) AP supra AB
b) PB supra AB
Solutie:
Stim ca:
\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}
Din raportul de mai sus obtinem:
\frac{AP}{3}=\frac{PB}{5}
Adica
\frac{AP}{3}=k\Rightarrow AP=3k
Dar si
\frac{PB}{5}=k\Rightarrow PB=5\cdot k
Astfel AB=AP+PB=3k+5k=8k
astfel raportul
\frac{AP}{AB}=\frac{3k}{8k}^{(k}=\frac{3}{8}
Si
\frac{PB}{AB}=\frac{5k}{8k}^{(k}=\frac{5}{8}

3. In triunghiul TLE, se iau punctele A apartine (TL), S apartine (TE), astfel incat AS\\ LE.

a) Daca TA=4 cm , AL=3 cm,TE=14 cm,atunci TS=?

 

Demonstratie:

probleme rezolvate cu teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales obtinem segmente proportionale:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}

Observati ca am folosit proportiile derivate pentru Teorema lui Thales.

Dar mai intai sa aflam TL, astfel TL=TA+AL\Rightarrow TL=4+3=7\;\; cm

Si obtinem egalitatea de rapoarte:

\frac{TA}{TL}=\frac{TS}{TE}\Rightarrow \frac{4}{7}=\frac{TS}{14}\Rightarrow 7\cdot TS=4\cdot 14\Rightarrow TS=\frac{4\cdot 14}{7}^{(7}=\frac{4\cdot 2}{1}=7

deci obtinem ca TS=8 cm

b) Daca TA=10 cm, TS=15 cm, SE=6 cm,atunci AL=?

Demonstratie:

probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

Stim ca AS||LE, deci cu Teorema lui Thales, obtinem:

\frac{TA}{AL}=\frac{TS}{SE}\Rightarrow \frac{10}{AL}=\frac{15}{6}\Rightarrow 15\cdot AL=10\cdot 6\Rightarrow AL=\frac{10\cdot 6}{15}=\frac{60}{15}=4\;\; cm

Si astfel am obtinut AL=4 cm.

Observati ca este destul de important atunci cand aplicam Teorema lui Thales sa avem grija din ce varf pornim si daca folosim proportii derivate sau proportiile directe.

Polinoame ireductibile

Introducem notiunea de polinom ireductibil peste un corp comutativ K.

Din scoala gimnaziala vi s-a introdus notiunea de ireductibil, adica fractie ireductibila ( fractia nu se mai poate simplifica), asemenea putem intelege si ca un polinom se numeste ireductibil daca nu se poate scrie ca produs de doua  sau mai multe polinoame.

Dar aratam in continuare ca polinomele ireductibile au in aritmetica inelului  K[X], rolul pe care il au numerele prime in aritmetica lui Z.

Definitie: Fie K un corp comutativ si f\in K[X], grad f=n>0. Spunem ca polinomul f este ireeductibil peste K, daca nu exista g, h\in K[X], astfel incat: f=g\cdot h, cu grad g<n si grad h<n

In caz contrar spunem ca polinomul  f este ireductibil.

Proprietati:

1. Orice polinom f\in K[X] de grad 1 este ireductibil peste K.

Exemple de polinoame ireductibile :

2X-3\in Q[X] este ireductibil peste Q

X+\sqrt{2}\in R[X] este ireductibil peste R.

3X+2\in Z_{5}[X] este ireductibil peste Z_{5}

2. Daca un polinom f\in K[X], grad\;\; f=n>1este ireductibil peste K, atunci f\left(a\right)=\neq 0, oricare ar fi a\in K, adica polinomul f nu are radacini in K.

Dar si reciproca :

Daca grad\;\; f=n este egal cu 2 sau 3 si f\left(a\right)\neq 0, \forall a\in K, atunci f este ireductibi peste K.

Exemple:

a) Polinomul X^{2}-2\in Q[X] este ireductibil peste Q

Intr-adevar, dar ar fi reductibil peste Q, ar insemna ca exista r\in Q, astfel incat r^{2}-2=0, de unde obtinem r^{2}=2\Rightarrow r=\pm\sqrt{2} si obtinem \sqrt{2}\in Q, contradictie.

Dar polinomul X^{2}-2\in R[X] este ireductibil peste R, pentru ca X^{2}-2=0\Rightarrow X^{2}=2\Rightarrow X=\pm \sqrt{2}

Adica polinomul putem sa-l scriem X^{2}-2=\left(X-\sqrt{2}\right)\cdot\left(X+\sqrt{2}\right), cu X-\sqrt{2}\in R[X] si X+\sqrt{2}\in R[X].

Important e sa stim multimile de numere.

In contiuare vom determina polinoamele ireductibile peste corpul C al numerelor complexe, si peste corpul R al numerelor reale, astfel vom folosi Teorema fundamentala a algebrei.

Teorema:

Oricare ar fi f\in C[X], grad\;\; f>0, exista z\in C, astfel incat f\left(z\right)=0, astfel spus orice polinom de grad mai mare sau egal decat 1, avand coeficienti complecsi admite cel putin o radacina complexa.

Observatie. Singurele polinoame ireductibile peste C sunt polinoamele de gradul I din C[X].

Teorema. Daca z este o radacina complexa a polinomului f\in R[X], atunci si \overline{z} este o radacina a lui f.

Observatie: Singurele polinoame ireductibile peste corpul R, al numerelor reale sunt:

– polinoamele de gradul  intai:aX+b, a,b\in R, a\neq 0

– polinoamele de gradul al doilea: aX^{2}+bX+c, cu a\b, c\in R, a\neq 0, b^{2}-4\cdot a\cdot c<0(adica cele care nu au radacini reale).

Aplicatii:

1. Fie polinoamele:

f, g\in R[X], f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}, g=X^{2}+1

a) Aratati ca g|f

b) Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste R.

c)  Stabiliti daca polinomul g este ireductibil peste C.

d) Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste R.

e)  Stabiliti daca polinomul f este ireductibil peste C.

Solutie:

a) Stim ca g\left(X\right)=0\Rightarrow X^{2}+1=0\Rightarrow X^{2}=-1\Rightarrow X^{2}=i^{2}\Rightarrow X=\pm\sqrt{i^{2}}\Rightarrow X=\pm i

Astfel polinomul g\left(X\right)=\left(X-i\right)\cdot\left(X+i\right).

Astfel polinomul g|f, daca si numai daca:

f\left(i\right)=0\Rightarrow \left(i^{2}+i+1\right)^{0}=0

f\left(-i\right)=0\Rightarrow\left[\left(-i\right)^{2}+\left(-i\right)+1\right]^{9}=0

b) g=X^{2}+1

Daca calculam \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-4<0

Cum \Delta<0, polinomul este ireductibil in R[X].

c) g=X^{2}+1=\left(X+i\right)\cdot\left(X-i\right), deci polinomul g este reductibil peste C.

d) f=\left(X^{2}+X+1\right)^{9}

Astfel, ecuatia x^{2}+x+1=0

Calculam \Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=-3, deci polinomul este ireductibil peste R.

e) Acum sa vedem daca este sau nu ireductibil peste C

Stim ca \Delta=-3 deci obtinem x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-1+\sqrt{3i^{2}}}{2\cdot 1}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

Si x_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}

Deci polinomul f=\left[\left(X-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}=\left[\left(X-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\left(X+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\right]^{9}, deci este reductibil peste C.

Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de polinom ireductibil peste anumite corpuri.