Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi

 Despre perpendicularitate si inaltimea intr-un triunghi

Dupa ce am definit notiunea de triunghi si am invatat elementele sale, dar si tipurile de triunghi precum si cum sa aratam ca doua triunghiuri sunt congruente, adica congruenta triunghiurilor, a venit vremea sa discutam despre
Perpendicularitatea, Inaltimea intr-un triunghi, Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Despre Perpendicularitate am mai auzit, dar haideti sa ne reamintim, astfel :
Definitie Doua drepte se numesc perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}.
Cand doua drepte sunt perpendiculare
g\perp d daca si numai daca m\left(\prec g, d\right)=90^{0}.
Acum definim inaltimea intr-un triunghi.
Definitie: Perpendiculara construita din varful triunghiului pe latura opusa se numeste inaltime.
Care este inaltimea intr-un triunghi
Redactarea simbolurilor
AD inaltime in triunghiul ABC, daca si numai daca AD\perp BC
Observatie: Punctul D se numeste piciorul inaltimii din A, iar BC este baza triunghiului, sau AD este inaltimea corespunzatoare laturii BC in triunghiul ABC.
Orice triunghi are trei inaltimi.
Concurenta inaltimilor intr-un triunghi
Teorema. Intr-un triunghi inaltimile sunt concurente, iar punctul de intersectie se numeste ortocentrul triunghiului care se noteaza cu H.
cate inaltimi putem duce intr-un triunghi
AD, BE, CF sunt inaltimi in \Delta ABC, daca si numai daca exista H, astfel incat AD\cap BE\cap BF=\left\{H\right\}
Observatie : In orice triunghi ascutitunghic inaltimea este situata in interiorul triunghiului.
Care sunt inaltimile inr-un triunghi ascutit unghic?
Scriem H\in Int \Delta ABC
In orice triunghi dreptunghic ortocentru coincide cu varful drept al triunghiului, deoarece doua dintre inaltimi sunt cele doua catete ale triunghiului.
Scriem H\in \Delta ABC
Care sunt inaltimile intr-un triunghi dreptunghic?
In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afla in exteriorul triunghiului.
Scriem H\in Ext \Delta ABC.
Inaltimea intr-un triunghi obtuz
Problema

1) In triunghiul ABC construim inaltimea AM cu M\in \left[BC\right], stiind ca M este mijlocul laturii \left[BC\right], aratati ca triunghiul ABC este isoscel.
Demonstratie:
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Daca M este mijlocul lui BC stim ca
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right] (din ipoteza)
Stim ca AM este inaltime in triunghiul ABC, deci \prec AMB\equiv\prec AMC (deoarece AM este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura BC, deci m\left(\prec AMB\right)=m\left(\prec AMC\right)=90^{0})
Dar mai stim si ca \left[AM\right]\equiv\left[AM\right] (latura comuna).
Deci avem :
\left[BM\right]\equiv\left[MC\right]  \\ \prec AMB\equiv\prec AMC  \\ \left[AM\right]\equiv\left[AM\right]\Rightarrow \Delta AMB\equiv \Delta AMC, de aici gasim si ca AB=AC si astfel triunghiul ABC este isoscel, deoarece am gasit ca are doua laturi egale.

Un comentariu la “Perpendicularitatea Inaltimea in triunghi Concurenta inaltimilor intr-un triunghi

Lasă un răspuns