Ne place matematica !

Poliedre Prisma dreapta Paralelipipedul dreptunghic

In acest articol o sa ne reamintim notiunile care le-am invatat la lectia  Poliedre Prisma dreapta Paralelipipedul dreptunghic, iar notiunea noua pe care o sa introducem ,o sa fie ca ,o sa invatam sa calculam Ariile si volumele corpurilor pe care le studiem.
Incepem prin a defini notiunea de prisma dreapta:
Definitie: Se numeste prisma dreapta o prisma care are muchiile perpendiculare pe planele bazelor.

O sa ne reamintim care este definitia inaltimii intr-o prisma deoarece cu ajutorul ei o sa calculam aria laterala, aria totala si volumul prismei.
Inaltimea unei prisme drepte o notam h si este egala cu lungimea muchiilor laterale.

Aria laterala, notam A_{l} a unei prisme este egala cu suma ariilor fetelor laterale.
Aria totala, notam A_{t} a unei prisme este egala cu suma dintre aria laterala si ariile celor doua baze.
Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre aria bazei si inaltime.
Notam
P_{b} perimetrul bazei prismei
A_{b} aria bazei prismei.

A_{l}=P_{b}\cdot h
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}
V=A_{b}\cdot h.
Invatam sa calculam aria laterala, aria totala si volumul pentru corpul geometric Paralelipipedul dreptunghic

Cum aflam aria laterala, aria totala si volumul pentru un paralelipipedul dreptnghic

Paralelipipedul dreptunghic este prisma dreapta cu baza dreptunghi. Fiind dat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu dimensiunile AB=L, BC=l, AA'=h.
Astfel
A_{l}=P_{b}\cdot h=2\left(L+l\right)\cdot h
A_{t}=A_{l}+2A_{b}=2\left(L+l\right)\cdot h+2\cdot L\cdot l=2\left(L\cdot h+l\cdot h+L\cdot l\right)
V=A_{b}\cdot h=\cdot L\cdot l\cdot h
d_{parlelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}.
Problema:

In paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ cu baza ABCD se cunosc A’B=25 cm, AA’=15 cm si AD’=17 cm. Calculati:
a) lungimea segmentului \left[AB\right]
b) lungimea segmentului \left[AD\right]
c) Aria totala a paralelipipedului
d) Volumul paralelipipedului
Demonstratie
cum aflam dimensiunile paralelipipedului

In triunghiul dreptunghic AA'B aplicam teorema lui Pitagora si astfel obtinem
A'B'^{2}=AB'^{2}-AA'^{2}\Rightarrow A'B'^{2}=25^{2}-15^{2}\Rightarrow A'B'^{2}=625-225\Rightarrow A'B'=\sqrt{400}\rightarrow A'B'=20 cm.
Cum stim A’B’ stim si AB deci AB=20 cm, deoarece bazele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri si astfel cele doua baze sunt congruente.
Acum ca sa aflam AD, in triunghiul dreptunghic AA’D aplicam Teorema lui Pitagora, astfel obtinem
AD^{2}=A'D^{2}-AA'{2}\Rightarrow AD^{2}=17^{2}-15^{2}\Rightarrow AD^{2}=289-225\Rightarrow AD=\sqrt{64}\Rightarrow AD=8 cm.
c) Calculam acum A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}
Calculam mai intai
A_{l}=P_{b}\cdot h=2\cdot L\cdot h+2\cdot l\cdot h=2\cdot AB\cdot AA'+2\cdot AD\cdot AA'=2\cdot 20\cdot 15+2\cdot 8\cdot 15=600+240=840\;\; cm^{2}
Acum calculam :
A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}=840+2\cdot L\cdot l=840+2\cdot 20\cdot 8=840+320=1160\;\; cm^{2}.
Calculam acum volumul paralelipipedului dreptunghic
V_{paralelipiped}=A_{b}\cdot h=L\cdot l\cdot h=20\cdot 8\cdot 15=2400\;\; cm^{3}.