Ne place matematica !

Pozitiile relative a doua drepte in plan

In acest articol o sa invatam despre pozitiile relative a doua drepte in plan si care sunt  conditiile pe care trebuie sa le indeplineasca coeficientii dreptelor pentru a fi in una din pozitiile relative a doua drepte prezentate mai jos, astfel:

Consideram mai intai dreptele date prin ecuatia carteziana generala d:ax+by+c=0

si d^{'}:a^{'}x+b^{'}y+c^{'}=0
dupa cum se stie, doua drepte in plan  pot fi in urmatoarele situatii una fata de cealalata:
– concurenta
– paralele
– confundate
Conditia ca doua drepte sa fie confundate a fost caracterizata astfel: d=d^{'}\Leftrightarrow exista t\neq 0 astfel incat a^{'}=ta,b^{'}=tb, c^{'}=tc
In continuare o sa ne ocupam de situatiile cand dreptele sunt paralele sau concurente.

Daca dreptele d si d’ indeplinesc urmatoarele conditii:
– exista t\neq 0 cu proprietatea a^{'}=ta, b^{'}=tb si d\neq d^{'} atunci dreptele d si d’ sunt paralele.

Daca dreptele d si d’ nu indeplinesc conditia de mai sus, atunci sunt concurente.
Toerema (pozitia relativa a doua drepte in plan)

Fie dreptele d:ax+by+c=0 si d^{'}=a^{'}x+b^{'}y+c^{'}=0
– dreptele d si d’ sunt concurente daca si numai daca ab^{'}-a^{'}b\neq 0
– dreptele d si d’ sunt paralele daca si numai daca a^{'}=ta, b^{'}=tb, c^{'}\neq tc
– dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca a^{'}=ta, b^{'}=tb, c^{'}=tc
Observatie in conditiile teoremei de mai sus rezulta ca:
a) d si d’ sunt paralele daca si numai daca ab^{'}-a^{'}b=0 si a^{'}c-ac^{'}\neq 0,bc^{'}-b^{'}c\neq 0
b) d si d’ sunt confundate daca si numai daca  ab^{'}-a^{'}b=0,ac^{'}-a^{'}c=0 si bc^{'}-b^{'}c=0.

Drepte date sub forma explicita

Fie dreptele d: y=mx+n si d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}

1) dreptele d si d’ sunt concurente, daca si numai daca m\neq m^{'}

2) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca m=m^{'} si n\neq n^{'}

3) dreptele d si d’ sunt paralele, daca si numai daca m=m^{'} si n=n^{'}

Aplicatii:

1) Determinati a, b\in R astfel incat d:ax+3y-8=0 si d^{'}:4x+by+20=0

a) confundate

b) paralele

Solutie:

Observam ca dreptele sunt date prin ecuatia carteziana generala, astfel dreptele d si d’ sunt confundate daca si numai daca a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab-12=0\Rightarrow ab=12

Dar si a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4=0\Rightarrow

20a+32=0\Rightarrow 20a=-32\Rightarrow

a=\frac{-32}{20}^{(4}=\frac{-8}{5}

Dar  si 3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b=0\Rightarrow 60+8b=0\Rightarrow 8b=-60\Rightarrow b=\frac{-60}{8}^{(4}=    \frac{-15}{2}

Deci pentru a=\frac{-8}{2} si b=\frac{-15}{2}, dreptele sunt confundate

b) La fel ca si la punctul a dreptele sunt date cu ajutorul ecuatiei carteziene generale, astfel pentru a fi paralele din conditia de la teorema enuntata mai sus avem:

a\cdot b-3\cdot 4=0\Rightarrow ab=12

Dar si a\cdot 20-\left(-8\right)\cdot 4\neq 0

\Rightarrow 20a+32\neq 0\Rightarrow 20a\neq -32\Rightarrow

a\neq \frac{-32}{20}^{(4}\Rightarrow a\neq\frac{-8}{5}

Sau 3\cdot 20-\left(-8\right)\cdot b\neq 0\Rightarrow 60+8b\neq 0\Rightarrow 8b\neq -60\Rightarrow b\neq\frac{-60}{8}^{(4}\Rightarrow b\neq \frac{-15}{2}

Deci a\cdot b=12, dar a\neq\frac{-8}{5} sau b\neq\frac{-15}{2}.