Ne place matematica !

Pozitiile relative a doua plane, distanta dintre doua plane

Dupa ce am invatat pozitia relativa a doua drepte si despre pozitia relativa a unei drepte fata de un plan, astazi o sa vorbim despre pozitiile relative a doua plane.
Astfel, doua plane pot avea una din cele trei pozitii relative:
- plane confundate, daca au in comun toate cele trei puncte necoliniare
conditia ca doua plane  sa fie confundate

- plane paralele, daca nu u in comun niciun punct in comun
conditia ca doua plan sa fie paralel

- plane secante, daca au o dreapta in comun sau un punct in comun si conform axiomei A_{4} au si o dreapta in comun
conditia ca doua plane sa aiba o dreapta in comun
Exemplu:
Fie cubul ABDA’B’C’D’. Stabiliti pzitia relativa a urmatoarelor drepte:
a) \left(BCB'\right) cu (ABC)
b) \left(A'B'C'\right) cu (ABC)
c) (ADC) cu (ABC)

CUBUL
a) planul (BCB’) cu planul (ABC) are o dreapta in comun, adica dreapta BC, deci cele doua plane se intersecteaza dupa o dreapta BC, scriem \left(ABC\right)\cap \left(BCB'\right)= BC
b) Planul (ABC) nu are niciun punct in comun si nici o dreapta in comun cu planul (A’B’C’), deci planele sunt paralele, scriem \left(ABC\right)||\left(A'B'C'\right)
c) planul (ADC) se confunda cu planul (ABC) si scriem (ABC)=(A’B’C’)
Def: Prin distanta dintre doua plane paralele intelegem distanta de la un punct al unuia dintre ele la celalat plan.
Problema:
Considerand cubul ABCDA’B’C’D’ cu B'C=10\sqrt{2} cm.
a) Aflati distanta dintre planele (ABC) si (A’B’C’)
b) Calculati aria triunghiului BDC’
Solutie
cum calculam distanta dintre doua plane
d\left(\left(ABC\right);\left(A'B'C'\right)\right)=d\left(A,\left(A'B'C'\right)\right)=AA'=10.
Deoarece BC’ este diagonala in patratul BCB’C’ rezulta ca $l\sqrt{2}=10\sqrt{2}\Rightarrow l=10 $, diagonala intr-un patrat este d_{patrat}=l\sqrt{2}, am obtinut astfel distanta dintre cele doua plane, care este distanta de la un punct la un plan, conform definitiei de mai sus, fiind cel mai scurt drum, adica AA’.
b) ce triunghi obtinem din diagonalele fetelor laterale ale unui cub
Obsevam ca triunghiul este format din diagonalele fetelor laterale ale cubului. Stim ca fetele laterale sunt patrate deci BD=BC'=DC'=10\sqrt{2}, deci triunghiul este echilateral si aria sa este A_{\Delta BDC'}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{100\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\cdot 2\sqrt{3}}{1}=50\sqrt{3}\;\; cm^{2}.