Ne place matematica !

Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Prezentam o Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este dreptunghi

Pe planul dreptunghiului ABCD, AC intersecteaza BD in punctul O, AB = 32 cm si BC = 18 cm, se ridica perpendiculara OM, cu OM = 12 cm.
Aflati distantele de la punctul M la laturile dreptunghiului.

Ipoteza

ABCD dreptunghi

AC\cap BD=\left\{O\right\}

AB=32 cm BC=18 cm

OM\perp\left(ABCD\right)

Concluzie:

d\left(M, AB\right)=?    \\d\left(M, BC\right)=?    \\d\left(M, CD\right)=?    \\d\left(M, AD\right)=?

Demonstratie:

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

 

 

 

 

 

 

 

Observati ca mai intai aflam distanta de la puncul M la dreapta AB, iar apoi la dreapta CD, deoarece dupa cum o sa vedeti distanta de la punctul M la cele doua drepte are aceeasi lungime.

Stim din ipoteza ca :

MO\perp \left(ABC\right)

de asemenea

OQ\perp AB    \\OQ, AB\subset\left(ABC\right)

OQ este perpendicular pe AB deoarece triunghiul AOB e isoscel, iar intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoatrea, inaltimea corespunzatoare bazei coincid, deci OQ perpendicular pe AB, iar cu Teorema celor trei perpendiculare gasim si ca :

MQ\perp AB, deci distant de la punctul M la dreapta AB este dreapta MQ.

Din ipoteza stim ca MO= 12 cm, dar ca sa aplicam Teorema lui Pitagora trebuie sa aflam OQ, astfel observam ca OQ=AD=BC=18 cm, dar mai observam si ca O este mijlocul segmentului RQ, deci QO=OR=\frac{OQ}{2}=\frac{18}{2}=9 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul Dreptunghic MOQ si gasim :

MQ^{2}=MO^{2}+OQ^{2}\Rightarrow =MQ^{2}=144+81\Rightarrow MQ=\sqrt{225}\Rightarrow MQ=15\;\; cm

Iar daca calculam acum distanta de la M la dreapta CD observam ca :

MO\perp\left(BCD\right)    \\OR\perp DC    \\OR, DC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MR\perp DC

Acum stim  MO din ipoteza OR l-am aflat mai sus trebuie acum sa aflam MR, astfel aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOR si obtinem:

MR^{2}=MO^{2}+OR^{2}\Rightarrow MR^{2}=12^{2}+9^{2}\Rightarrow MR^{2}=144+81\Rightarrow MR=\sqrt{225}\Rightarrow MR=15 cm

Deci d\left(m, AB\right)=d\left(M, CD\right)=15 cm

Acum trebuie sa aflam distanta de la M la AD si distanta de la M la BC care de asemenea au aceeasi lungime

 

Distanta de la un punct la o dreapta

 

 

 

 

 

Acum stim ca

MO\perp BD    \\OE\perp AD,    OE, AD\subset\left(ABD\right)\Rightarrow ME\perp AD

Astfel cu teorema celor Trei perpendiculare gasim ca d\left(M, AD\right)=ME

Din ipoteza stim MO, acum aflam pe OE

Observati ca am format segmentul EF, unde O este mijlocul sau , mai observam ca EF=AB=CD=32 cm, cum stim ca O este mijlocul segmentului putem afla OE=OF=\frac{EF}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Acum dupa ce am aflat si EO putem aplica Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOE si astfel obtinem :

ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow ME=\sqrt{144+256}\Rightarrow ME=\sqrt{400}\Rightarrow ME=20 cm.

Acum ca sa aflam d\left(M, BC\right)=MF la fel aplicam Teorema celor trei perpendiculare, astfel

MO\perp BCD    \\OF\perp BC    \\OF, BC\subset\left(BCD\right)\Rightarrow MF\perp BC

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC este MF, acum stiind cele doua catete aplicam Teorema lui Pitagora

MF^{2}=MO^{2}+OF^{2}\Rightarrow MF^{2}=12^{2}+16^{2}\Rightarrow MF^{2}=144+256\Rightarrow MF=\sqrt{400}=20

Deci distanta de la d\left(M, AD\right)=d\left(M, BC\right)=20 cm.