Ne place matematica !

Problema rezolvata cu Teorema celor trei perpendiculare cand baza este Patratul

Enunt problema

Pe planul patratului ABCD de latura AB = 24\;\;cm se ridica perpendiculara MO\perp\left(ABC\right), MC = 12\sqrt{3}\;\; cm, unde O este centrul
patratului. Calculati distantele de la punctul M la laturile patratului.

Demonstratie:

Ipoteza

ABCD patrat

MO\perp\left(ABC\right)    \\MC=12\sqrt{3} cm

AC\cap BD=\left\{O\right\}

Concluzie

d\left(M, AB\right)=?    \\d\left(M, BC\right)=?    \\d\left(M, CD\right)=?    \\d\left(M, AD\right)=?

Demonstratie

Mai intai realizam figura si scriem toate notiunile pe care le stim:

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

 

 

 

 

 

 

 

Stim din ipoteza ca

MO\perp\left(ABC\right)

Acum am construit ON\perp BC, ON, BC\perp\left(ABC\right)\Rightarrow MN\perp BC

Observati, ca sa aplicam Teorema celor trei perpendiculare trebuie sa formam un triunghi, astfel daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, adica MO\perp \left(ABC\right) si prin piciorul ei ducem o  dreapta perpendiculara pe o alta dreapta din acel plan, adica OT\perp BC, atunci dreapta care uneste Punctul M cu punctul de intresectie a celor doua drepte este perpendiculara pe cea de-a treia dreapta, adica MN\perp BC.

Deci am aplicat teorema directa a celor trei perpendiculare la aceasta problema rezolvata

Acum ca sa aflam MN, adica distanta de la punctul M la dreapta BC este dreapta MN

d\left(M, BC\right)=MN

Cum pe MO=12\sqrt{3} stim din ipoteza problemei, aflam acum ON (ON perpendicular pe BC, deoarece triunghiul OBC este dreptunghic isoscel), astfel stim ca OC=OB=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{24\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}, deoarece stim ca diagonala intr-un patrat este d_{patrat}=l\sqrt{2}, iar ca sa aflam jumatatea diagonalei impartim la doi.

Iar acum ca sa aflam ON aplicam teorema inaltimii, deoarece triunghiul OBC este dreptunghic isoscel, astfel obtinem:

ON=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{24}=\frac{144\cdot 2}{24}=\frac{288}{24}=12, di ON=12 cm, acum dupa ce am aflat ON aplicam in triunghiul MON Teorema lui Pitagora si obtinem:

MN^{2}=MO^{2}+ON^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MN^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow MN^{2}=432+144\Rightarrow MN=\sqrt{576}\Rightarrow MN=24\;\; cm.

Deci am aflat distanta de la punctul M la dreapta BC, acum ca sa aflam distanta de la punctul M la dreapta AD, dar si distanta de la M la dreapta AB, distanta de la M la dreapta CD observam ca obtinem acelasi lucru adica 24 cm, astfel daca vrem sa aflam distanta de la M la dreapta CD

Distanta de la un punct la o dreapta

 

 

 

 

 

 

 

Astfel stim ca MO\perp \left(BCD\right), construim

OT\perp DC, stim OT, DC\subset\left(DBC\right)\Rightarrow MT\perp DC, deci d\left(M, DC\right)=MT, acum ca sa aflam MT, stim ca

DO=OB=OC=12\sqrt{2}, cum stim ca triunghiul DOC este isoscel, dar si dreptunghic (acesta rezulta din proprietatile patratului) si astfel putem sa aflam:

OT=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{12\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{24}=\frac{288}{24}=12 cm si astfel daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MOT gasim

MT^{2}=MO^{2}+OT^{2}\Rightarrow MT^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MT=\sqrt{144\cdot 3+144}\Rightarrow MT=\sqrt{576}\Rightarrow MT=24 cm