Ne place matematica !

Problema rezolvata cu trapezul isoscel

Sa vedem inca o problema rezolvata cu trapezul isoscel ,trimisa de un cititor MatePedia.

Fie ABCD trapez  si \left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]. Daca AB=2a cm si m\left(\prec B\right)=60^{0} se cere:

a) Demonstrati ca (AC este bisectorea unghiului  \prec A

b) Calculati perimetrul \Delta COB, O fiind mijlocul lui AB

c) Calculati linia mijlocie a trapezului ABCD

Demonstratie:

Cum aflam perimetrul unui trapez
Observam ca :
\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]
si astfel obtinem ca trapezul este isoscel, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel gasim si ca m\left(\prec A\right)=60^{0}
Acum construim perpendicularele CE si DF pe dreapta AB.
Astfel daca aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}=90^{0}, astfel obtinem:
AF=\frac{1}{2}\cdot AD si
BE=\frac{1}{2}\cdot BC
Notam AD=DC=BC=x
AB=AF+FE+EB\Rightarrow 2a=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}\Rightarrow 2a=2x\Rightarrow x=a
EF=DC=x, deoarece EFDC este dreptunghi
Din ipoteza observam ca triunghiul este isoscel de baza AC, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica \prec DAC\equiv\prec DCA.
Dar cum am construit cele doua perpendiculare observam ca DCEF este dreptunghi si deci astfel m\left(\prec FDC\right)=m\left(\prec DCE\right)=m\left(\prec CEF\right)=m\left(\prec EFD\right)=90^{0}
DEci gasim ca
m\left(\prec ADC\right)=m\left(\prec ADF\right)+m\left(\prec FDC\right)\Rightarrow  m\left(\prec ADC\right)=30^{0}+90^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}
Si cum unghiurile alaturate bazei sunt congruente rezulta ca m\left(\prec DAC\right)=m\left(\prec DCA\right)=30^{0}.
Acum :
m\left(\prec DAB\right)=m\left(\prec DAC\right)+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow 60^{0}=30^{0}+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow m\left(\prec CAB\right)=30^{0}
astfel gasim ca \prec DAC\equiv\prec CAB
Cum semidreapta AC imparte unghiul in doua unghiuri congruente rezulta ca AC este bisectoarea unghiului A.
b) Cum O este mijlocul lui AB obtinem AO=OB=a
Stim de mai sus ca BC=a, deci triunghiul COB este isoscel cu m\left(\prec CBO\right)=60^{0} si astfel triunghiul CBO echilateral astfel
P_{\Delta CBO}=3\cdot a=3a cm.
Perimetrul unui triunghi

 

 

 

 

 

 
c) Linia mijlocie a trapezului, fie M mijlocul lui AD si N mijlocul lui BC, astfel obtinem
MN=\frac{AB+BC}{2}=\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}
Linia mijlocie intr-un trapez