Problema rezolvata cu trapezul isoscel

Sa vedem inca o problema rezolvata cu trapezul isoscel ,trimisa de un cititor MatePedia.

Fie ABCD trapez si $\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]$ . Daca $AB=2a$ cm si $m\left(\prec B\right)=60^{0}$ se cere:

a) Demonstrati ca (AC este bisectorea unghiului $\prec A$

b) Calculati perimetrul $\Delta COB$ , O fiind mijlocul lui AB

c) Calculati linia mijlocie a trapezului ABCD

Demonstratie:

Observam ca :
$\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]$
si astfel obtinem ca trapezul este isoscel, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel gasim si ca $m\left(\prec A\right)=60^{0}$
Acum construim perpendicularele CE si DF pe dreapta AB.
Astfel daca aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}=90^{0}$ , astfel obtinem:
$AF=\frac{1}{2}\cdot AD$ si
$BE=\frac{1}{2}\cdot BC$
Notam AD=DC=BC=x
$AB=AF+FE+EB\Rightarrow 2a=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}\Rightarrow 2a=2x\Rightarrow x=a$
EF=DC=x, deoarece EFDC este dreptunghi
Din ipoteza observam ca triunghiul este isoscel de baza AC, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica $\prec DAC\equiv\prec DCA$ .
Dar cum am construit cele doua perpendiculare observam ca DCEF este dreptunghi si deci astfel $m\left(\prec FDC\right)=m\left(\prec DCE\right)=m\left(\prec CEF\right)=m\left(\prec EFD\right)=90^{0}$
DEci gasim ca
$m\left(\prec ADC\right)=m\left(\prec ADF\right)+m\left(\prec FDC\right)\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=30^{0}+90^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}$
Si cum unghiurile alaturate bazei sunt congruente rezulta ca $m\left(\prec DAC\right)=m\left(\prec DCA\right)=30^{0}$ .
Acum :
$m\left(\prec DAB\right)=m\left(\prec DAC\right)+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow 60^{0}=30^{0}+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow m\left(\prec CAB\right)=30^{0}$
astfel gasim ca $\prec DAC\equiv\prec CAB$
Cum semidreapta AC imparte unghiul in doua unghiuri congruente rezulta ca AC este bisectoarea unghiului A.
b) Cum O este mijlocul lui AB obtinem AO=OB=a
Stim de mai sus ca BC=a, deci triunghiul COB este isoscel cu $m\left(\prec CBO\right)=60^{0}$ si astfel triunghiul CBO echilateral astfel
$P_{\Delta CBO}=3\cdot a=3a cm$ .