Probleme rezolvate Cum aflam lungimea unei diagonale intr-un romb? Cum aflam masura unghiurilor unui romb?

Prezentam

Probleme rezolvate Cum aflam lungimea unei diagonale intr-un romb? Cum aflam masura unghiurilor unui romb?

1) Rombul ABCD are perimetrul egal cu 14 cm . Stiind ca m\left(\widehat{ADC}\right) = 120^{0} , aflati  lungimea diagonalei \left[BD\right]

Demonstratie.

perimetrul unui romb
Stim ca perimetrul rombului este de 14 cm, astfe
P_{ABCD}=14 cm\Rightarrow 4l=14 cm\Rightarrow l=\frac{14}{4}\Rightarrow l=3,5 cm

Deci AB=BC=CD=DA=3,5 cm

Stim ca diagonalele intr-un romb sunt bisectoare unghiurilor lui, deci BD bisectoarea unghiului ADC, si astfel gasim ca m\left(\prec ADB\right)=\frac{m\left(\prec ADC\right)}{2}=\frac{120^{0}}{2}=60^{0} si unghiul ABD este de asemenea de 60 de grade , dar si masura unghiului DAB este tot de 60 de grade si astfel triunghiul ADB este echilateral, adica AD=AB=BD=3,5 cm, deci BD=3,5 cm.

2) Perimetrul unui romb este egal cu 18 cm , iar lungimea diagonalei mici este egala cu 4,5 cm . Determinati masurile unghiurilor rombului.
unghiurile unui romb
Stim ca intr-un romb toate laturile sunt congruente, deci daca P_{ABCD}=18 cm\Rightarrow 4l=18 cm\Rightarrow l=\frac{18}{4}\Rightarrow l=4,5 cm si observam ca AB=AD=BD=4,5 cm, adica troiunghiul ADB este echilateral si gasim ca m\left(\prec DAB\right)=60^{0},

Stim ca intr-un romb unghiurile opuse sunt congruente, deci stim si ca m\left(\prec DCB\right)=60^{0}

Acum, ca sa aflam masura unghiului ADC, stim conform proprietatilor rombului stim ca diagonalele sunt bisectoare si cum stim ca
m\left(\prec ADB\right)=60^{0}
Stim ca m\left(\prec ADB\right)=\frac{m\left(\prec ADC\right)}{2}\Rightarrow 60^{0}=\frac{m\left(\prec ADC\right)}{2}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=2\cdot 60^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}
Stim ca intr-un romb unghiurile opuse sunt congruente deci
\widehat ADC\equiv\widehat ABC, adica m\left(\widehat{ADC}\right)=m\left(\widehat{ABC}\right)=120^{0}.

3) Rombul ABCD are m\left(\widehat{A}\right)=60^{0} . Fie E milocul laturii \left(AB\right) si F mijlocul laturii \left(BC\right) . Notam AC\cap BD = \left\{O\right\}

a)Demonstrati ca DE=AO .

b)Demonstrati ca triunghiul DEF este echilateral .

Demonstratie:

Cum demonstram ca un triunghi este echilateral

a) Stim ca triunghiul ABD este isoscel cu AB=AD, m\left(\widehat{BAD}\right)=60^{0}, deci triunghiul ABD echilateral, deci DE este inaltime in triunghiul ABD, dar mai stim si ca AO\perp BD\Rightarrow m\left(\widehat{AOB}\right)=90^{0}, deci AO este inaltimea in triunghiul echilateral ADB. Conform proprietatilor triunghiului echilateral inaltimile coincid, deci DE=AO.

b) Triunghiul DEF echilateral
cum aratam ca un triunghi este echilateral

Stim ca DE este inaltime in triunghiul ABD, deci m\left(\widehat{AED}\right)=90^{0}.
Stim ca E este mijlocul lui AB, deci AE=EB, dar si ca F mijlocul lui BC, adica BF=FC.
Deci BC=BE, deci triunghiul BEF isoscel, stim ca m\left(widehat{BEF}\right)=m\left(\widehat{BFE}\right)=y si gasim ca
m\left(\widehat{EBF}\right)+m\left(\widehat{BEF}\right)+m\left(\widehat{BFE}\right)=180^{0}\Rightarrow  120^{0}+y+y=180^{0}\Rightarrow 2y=180^{0}-120^{0}\Rightarrow y=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}
Stim ca
m\left(\widehat{AEB}\right)=180^{0}
Dar mai stim si ca
m\left(\widehat{AEB}\right)=m\left(\widehat{AED}\right)+m\left(\widehat{DEF}\right)+m\left(\widehat{BEF}\right)\Rightarrow  180^{0}=90^{0}+m\left(\widehat{DEF}\right)+30^{0}\Rightarrow 180^{0}-120^{0}=m\left(\widehat{DEF}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{DEF}\right)=60^{0}.
Acum stim si ca

m\left(\widehat{BFC}\right)=180^{0}
Dar mai stim si ca
m\left(\widehat{BFC}\right)=m\left(\widehat{BFE}\right)+m\left(\widehat{EFD}\right)+m\left(\widehat{DFC}\right)\Rightarrow  180^{0}=30^{0}+m\left(\widehat{EFD}\right)+90^{0}\Rightarrow 180^{0}-120^{0}=m\left(\widehat{EFD}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{EFD}\right)=60^{0}.

Deci avem un triunghi cu doua unghiuri congruente cu masura de 60 de grade, deci si celalat unghi este de 60 de grade si astfel triunghiul EFD este echilateral.

Categories: , ,

Lasă un răspuns