Ne place matematica !

Problema rezolvata Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Prezentam o problema rezolvata

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

In triunghiul isoscel ABC cu \left[AB\right]=\left[AC\right] , masura unghiului m\left(\prec BAC\right)= 36^{0} . Fie \widehat{ABD}\equiv\widehat{CBD} , unde D\in \left[AC\right] .Aratati ca triunghiul BCD este isoscel.

Demonstratie:

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Cum stim ca triunghiul ABC este isoscel, dar mai stim si ca unghiul BAC are masura de 36^{0}, mai stim ca intr-un triunghi isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=x deci avem ca
m\left(\widehat{BAC}\right)+m\left(\widehat{ABC}\right)+m\left(\widehat{ACB}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+x+x=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+2x=180^{0}\Rightarrow 2x=180^{0}-36^{0}\Rightarrow x=\frac{144^{0}}{2}=72^{0}, deci am gasit ca
m\left(\widehat{ABC}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=72^{0}.

Mai stim si din ipoteza ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{CBD}, adica
m\left(\widehat{ABD}\right)=m\left(\widehat{ACD}\right)=\frac{m\left(\widehat{ABC}\right)}{2}=\frac{72^{0}}{2}=36^{0}.

Cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam ca triunghiul ABD este isoscel de baza AB (este isoscel deoarece unghiurile alaturate bazei sunt congruente, conform proprietatii triunghiului isoscel)

Deci putem afla masura unghiului ADB
m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ABD}\right)+m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}\Rightarrow 36^{0}+36^{0}+m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ADB}\right)=180^{0}-72^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ADB}\right)=108^{0}.

Acum ca stim ca masura unghiului ADB este de 108 grade putem afla masura unghiului BDC
180^{0}=m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow 180^{0}=102^{0}+m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow 180^{0}-108^{0}=m\left(\widehat{BDC}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{BDC}\right)=72^{0}.

Deci observam ca \widehat{CDB}\equiv\widehat{BCD}\Rightarrow triunghiul BCD isoscel (deoarece conform proprietatii triunghiului isoscel: Daca un triunghi are doua unghiuri congruente atunci triunghiul este isoscel).

Cum aratam ca un triunghi este isoscel