Ne place matematica !

Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor 1

Dupa ce am invatat sa rezolvam ecuatiile a venit vremea sa aflam de ce am invatat sa le rezolvam .Rezolvarea ecuatiilor ne ajuta sa rezolvam problemele, dar ca sa rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:

-alegem necunoscuta

-formam ecuatia/ecuatiile

-rezolvam ecuatia/ecuatiile

-interpretam rezultatul/rezultatele

Rezolvam cateva probleme prin care sa intelegem ceea ce am spus mai sus

1) Un obiect costa cu 18 lei mai mult decat inainte de scumpire.

Daca  o cincime din actualul pret reprezinta o treime din vechiul pret determinati pretul vechi si  actualul pret al obiectului. Solutie -prima data asa cum am spus ,stabilim necunoscuta :

-fie x pretul obiectului -acum formam ecuatiile

- \frac{1}{3}x – o treime din pretul vechi

-x+18-mai mult inainte de scumpire

-\frac{1}{5}\left( x+18\right)-o cincime di actualul pret (adica inainte de scumpire)

\frac{1}{3}x=\frac{1}{5}\left(x+18\right)|\cdot 15\Rightarrow \frac{15}{3}x=\frac{15}{5}\left(x+18\right)\Rightarrow 5x=3\left(x+18\right)\Rightarrow 5x=3x+54\Rightarrow 5x-3x=54\Rightarrow 2x=54\Rightarrow x=27 lei.

Deci pretul vechi al  obiectul  este de 12 lei, iar pretul actual x+18=27+18=45 lei pretul actual al obiectului

2) Alexandru se gandeste la un numar. Aduna dublul numarului cu 0,6 . Rezultatul il imparte la 0,4. Din noul rezultat scade 21,83 si obtine 20,17.Care este numarul la care s-a gandit Alexandru?

Solutie:

Stabilim mai intai necunoscuta, adica numarul la care se gandeste Alexandru, astfel fie -x numarul la care se gandeste Alexandru, acum dormam ecuatia – dublul numarului o sa fie 2x la care adunam 0,6 deci 2x+0,6, rezultatul obtinit il impartiim la 0,4 \left(2x+0,6\right):0,4, din noul rezultat scadem 21,83, astfel ecuatia noastra devine

\left(2x+0,6\right):0,4-21,83=20,17

Dupa ce am format ecuatia  o rezolvam  si interpretam rezultatul \left(2x+0,6\right):0,4=20,17+21,83\Rightarrow \left(2x+0,6\right):0,4=42,00\Rightarrow \left(2x+0,6\right):0,4=42|\cdot 0,4\Rightarrow 2x+0,6=42\cdot 0, 4\Rightarrow 2x+0,6=16,8\Rightarrow 2x=16,8-0,6\Rightarrow 2x=16,2|:2\Rightarrow x=8,1\Rightarrow x=8,1

Ca sa fim siguri ca am rezolvat corect efectuam proba, adica in locu lui x o sa punem numarul care l-am gasit, astfel  \left(2\cdot 8,1+0,6\right):0,4-21, 83si trebuie sa obtinem: 20,83

\left(16,2+0,6\right):0,4-21,83=16,8:0,4-21,83=42-21,83=20,17 ceea ce trebuia sa obtinem.

3) Suma a trei numere este 603. Catul dintre al doilea si primul numar este de \frac{1}{3}, iar al treilea numar reprezinta \frac{7}{45} din primul. Aflati cele tre  numere.

Solutie:

Notam cu

-x primul numar

-y al doilea numar

-z al treilea numar

Formam ecuatiile:

x+y+z=603 (suma celor trei numere) (*)

\frac{y}{x}=\frac{1}{3} (raportul dintre al doilea numar si primul numar) (**)

z=\frac{7}{45}x (al treilea numar reprezinta \frac{7}{45} din primul numar) (***)

Din (**) obtinem \frac{y}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow y=\frac{x}{3}(****).

Inlocuind in (*) cu (***) si (****) si obtinem:

x+\frac{x}{3}+\frac{7}{45}x=603\Rightarrow \frac{45x+15x+7x}{45}=603\Rightarrow \frac{67x}{45}=603\Rightarrow 67x=45\cdot 603\Rightarrow x=\frac{27135}{67}\Rightarrow x=405

Dupa ce am aflat x, acum inlocuim (***) si (****) ca sa aflam y si z.

y=\frac{x}{3}=\frac{405}{3}=135.

iar

z=\frac{7}{45}\cdot 405=\frac{7\cdot 405}{45}=\frac{2835}{45}=63.

Si astfel am gasit numerele.

Deci aceste  probleme care se  rezolva cu ajutorul ecuatiilor joaca un rol important.