Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

diagonelele intr-un paraleogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca [AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai observam si ca \widehat{AOB}\equiv\widehat{COD} ( unghiuri opuse la varf)
Deci obtinem ca triunghiul \Delta AOB\equiv\Delta COD (caz L.U.L)
De unde obtinem si ca [AB]\equiv[CD] (1)
Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca
[AO]\equiv [OC]
Si [BO]=[OD]
Dar mai stim si ca  \widehat{AOD}\equiv\widehat{COB} (ca unghiuri opuse la varf)
Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca
\Delta AOD\equiv\Delta COB, adica obtinem ca AD=CB  (2)
Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.
 
2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

cum aratam ca un patrulater convex este paralelogram

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca DM\perp AC si BN\perp AC si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.
Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca [AD]\equiv[BC]
Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca
\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}( ca unghiuri alterne interne)
Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca \Delta ADM\equiv \Delta CBN, de unde obtinem si ca
[DM]\equiv[BN]
Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Lasă un răspuns