Ne place matematica !

Probleme rezolvate cu teorema fundamentala a asemanarii

Astazi a venit vremea sa prezentam probleme care se rezolva cu teorema fundamentala a asemanarii dar si cu linia mijlocie intr-un trapez.

Sa incepem cu un exemplu de problema.

In triunghiul ABC se iau laturile AB=16 cm , BC =18 cm si AC=20 cm . Se duce dreapta DE paralela cu BC astfel incat triunghiul ADE si trapezul BDEC sa aiba acelasi perimetru . Aflati lungimea segmentului DE.

Ipoteza:

\Delta ABC

AB=16 cm, BC=18 cm, AC=20 cm

DE||BC

P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}

Concluzie:

DE=?

Demonstratie:

cum aplicam teorema fundamentala a asemanaii

Stim ca  DE||BC, deci putem aplica Teorema fundamentala a asemanarii \Delta ADE\sim\Delta ABC

Adica \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

\Rightarrow\frac{AD}{16}=\frac{AE}{20}=\frac{DE}{18}=k

Adica obtinem \frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k

\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k

\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k

Dar mai stim si ca: P_{\Delta ADE}=P_{BDEC}\Rightarrow AD+DE+AE=BD+DE+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+DE+EC+BC-DE\Rightarrow AD+AE=BD+EC+BC\Rightarrow AD+AE=BD+EC+18

Si cu notiunile de mai sus obtinem: 16k+20k=BD+EC+18(1)

Dar stim ca AB=AD+DB\Rightarrow 16=16k+BD\Rightarrow BD=16-16k

Dar si AC=AE+EC\Rightarrow 20=20k+EC\Rightarrow 20-20k=EC

Si daca inlocuim in (1), obtinem: 16k+20k=16-16k+20-20k+18\Rightarrow 36k=54-36k\Rightarrow 36k+36k=54\Rightarrow 72k=54\Rightarrow k=\frac{54}{72}^{(9}=\frac{6}{8}^{(2}=\frac{3}{4}

Si astfel am obtinut: k=\frac{3}{4} si astfel obtinem:\frac{AD}{16}=k\Rightarrow AD=16k\Rightarrow AD=16\cdot\frac{3}{4}^{(4}=4\cdot\frac{3}{1}=12

\frac{AE}{20}=k\Rightarrow AE=20k\Rightarrow AE=20\cdot\frac{3}{4}^{(4}=5\cot\frac{3}{1}=15

\frac{DE}{18}=k\Rightarrow DE=18k\Rightarrow DE=18\cdot\frac{3}{4}^{(2}=9\cdot\frac{3}{2}=\frac{9\cdot 3}{2}=\frac{27}{2}=13,5

Deci am obtinut DE=13, 5

Sa mai vedem o problema.

2. Trapezul isoscel ABCD, AB||CD, are [AD]\equiv[DC]\equiv[BC] si m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}. Daca lungimea liniei mijlocii a trapezului este egala cu 21 cm, atunci calculati perimetrul trapezului ABCD.

Demonstratie:

Stim ca linia mijlocie a trapezului este de 21 cm, deci cu teorema referitoare la linia mijlocie intr-un trapez obtinem:

l.m=\frac{B+b}{2}\Rightarrow 21=\frac{AB+DC}{2}\Rightarrow AB+DC=21\cdot 2\Rightarrow AB+DC=42 cm

Observam ca AD=BC, deci trapezul ABCD este isoscel, deci obtinem si ca m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}

linia mijlocie intr-un trapez

Pentru a afla perimetrul trapezului construim perpendicularele di D pe AB si din C pe AB, astfel avem: DE\perp AB

Si CF\perp AB si obtinem:

cum aflam perimetrul unui trapez

 

Astfel in triunghiul ADE avem m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{E}\right)=90^{0} si astfel obtinem m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{A}\right)- m\left(\widehat{E}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{D}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul ADE aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem AE=\frac{AD}{2}\Rightarrow 2\cdot AE=AD\Rightarrow DC=2AE

La fel si in triunghiul BCF avem m\left(\widehat{B}\right)=60^{0}, m\left(\widehat{F}\right)=90^{0} si astfel obtinem

m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-m\left(\widehat{B}\right)- m\left(\widehat{F}\right)\Rightarrow m\left(\widehat{C}\right)=180^{0}-60^{0}-90^{0}=30^{0}

Deci in triunghiul BCF aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel obtinem BF=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot BF=BC\Rightarrow DC=2BF

Stim ca AB=AE+EF+EB\Rightarrow AB=\frac{AD}{2}+EF+\frac{BC}{2}

Dar stim ca AD=DC=BC=x

Observam si ca: DCFE este dreptunghi, deci DC=EF

Si astfel obtinem: AB=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}=\frac{2x}{2}+x=x+x=2x

Deci obtinem ca AB=2x

Stim de mai sus ca AB+DC=42\Rightarrow 2x+x=42\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=42:3\Rightarrow x=14

Deci obtinem AB=2\cdot x=2\cdot 14=28

Dar stim si ca AD=DC=BC=14\;\; cm

Astfel perimetrul trapezului este P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=28+14+14+14=28+14\cdot 3=28+42=70\;\; cm

Si astfel am obtinut ca perimetrul trapezului este de 70 cm.

cum aplicam teorema 30-60-90