Probleme rezolvate cu unghiul diedru

Prezentam inca doua probleme in care calculam unghiul diedru a doua semiplane, pentru cei care nu va mai reamintiti cum se face dati click aici.

1.SABCD este piramida regulata cu varful in S si cu toate muchiile congruente.Determinati masura unghiului diedru format de semiplanele:

a) (ABS) si (ABD) ;

Mai intai aflam intersectia semiplanelor:

(ABS)\cap (ABD)=AB, adica muchia diedrului

cum calculam unghiul diedru

 

Fie O centrul bazei , iar N mijlocul segmentului AB, adica [AN]\equiv[NB], deoarece ABCD patrat  si AB=l , atunci AC=l\sqrt{2}

Observam ca triunghiul SAB este echilateral, deci rezulta ca SN\perp AB, SM\subset(SAB), ON\perp AB si ON\subset (ABD), deci

m\left(\widehat{(SAB),(ABD)}\right)=m\left(\widehat{SN, NO}\right)=m\left(\widehat{SNO}\right)

Cum triunghiul SON este dreptunghic in O, putem aplica functiile trigonometrice, dar mai intai aflam SM=\frac{l\sqrt{3}}{2} (inaltime in triunghiul echilateral SAB) OM=\frac{l}{2}(apotema bazei in piramida SABCD)

Si cu Teorema lui Pitagora aflam SO^{2}=SM^{2}-OM^{2}\Rightarrow SO^{2}=\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{l}{2}\right)^{2}\Rightarrow SO^{2}=\frac{3l^{2}}{4}-\frac{l^{2}}{4}\Rightarrow SO=\sqrt{\frac{2l^{2}}{4}}=\frac{l\sqrt{2}}{2}

Astfel, calculam \sin\widehat{SNO}=\frac{SO}{SN}=\frac{\frac{l\sqrt{2}}{2}}{\frac{l\sqrt{3}}{2}}=\frac{l\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{l\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

b) (BCS) si (BCA);

Observam ca: (BCS)\cap(BCA)=BC

La fel si mai sus triunghiul, in triunghiul SBC, ducem SM\perp BC, SM\subset(SBC),dar si OM\perp BC, OM\subset\left(BCA\right), astfel obtinem ca si mai sus m\left(\widehat{(BCS (BCA)}\right)=m\left(\widehat{SM,MO}\right)=m\left(\widehat{SMO}\right)

Dar la fel ca si mai sus triunghiul SMO este dreptunghic in O si obtinem
\sin\widehat{SMO}=\frac{SO}{SM}=\frac{\sqrt{6}}{3}

c)(SBA) si (SBC); (SBA)\cap(SBC)=SB

Astfel intersectia semiplanelor este dreapta SB, astfel ducem perpendiculara din A pe SB si din C pe SB.
cum calculam unghiul diedru a doua semiplane
Astfel avem AT\perp SB , AT\subset(SBA)
Dar si CT\perp SC, CT\subset(SBC)
Decin obtinem unghiul m\left(\widehat{(SBA),(SBC)}\right)=m\left(\widehat{AT,CT}\right)=m\left(\widehat{ATC}\right)
Stim ca AT si CT sunt inaltimii in triunghiurile echilaterale SBA si SBC, astfel obtinem CT=AT=\frac{l\sqrt{3}}{2}, deci obtinem triunghiul ATC isoscel.

Pentru a afla masura unghiului construim perpendiculara din T pe AC si cu teorema lui Pitagora aflam TO^{2}=TA^{2}-AO^{2}\Rightarrow TO^{2}=\frac{3l^{2}}{4}-\frac{2l^{2}}{4}\Rightarrow TO=\sqrt{\frac{l^{2}}{4}}=\frac{l}{2}
Acum construim si perpendiculara din A pe CT, adica AE, astfel pentru a afla AE stim ca: A_{\Delta TAC}=A_{\Delta CTA}\Rightarrow \frac{AC\cdot TO}{2}=\frac{CT\cdot AE}{2}\Rightarrow \frac{l}{2}\cdot \frac{l}{2}=\frac{l\sqrt{3}}{2}\cdot AE\Rightarrow \frac{l^{2}}{4}:\frac{l\sqrt{3}}{2}=AE\Rightarrow AE=\frac{l^{2}}{4}\cdot\frac{2}{l\sqrt{3}}=\frac{l}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{l\sqrt{3}}{6}

Astfel, daca aplicam functiile trigonometrice obtinem \sin\widehat{ATC}=\frac{AE}{AT}=
\frac{l\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{2}{l\sqrt{6}}=
\frac{1\cdot 1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=
\frac{\sqrt{3}}{9}
cum calculam unghiul diedru a doua semiplane

d) (SAB) si (SAD).
La fel obtinem si pentru unghiul de mai sus.

O piramida triunghiulara regulata are inaltimea de trei cm si latura bazei de 4 cm . Calculeaza aria unei fete laterale si masura diedrului format de o fata cu planul bazei.

Demonstratie:
Stim ca in VABC VO inaltime, adica VO=3 cm si AB=4 cm
Stim ca fetele laterale sunt triunghiuri isoscele, deci in triunghiul VBC construim perpendiculara VM, adica inaltimea in triunghiul isoscel VAC, stim ca VO=3 cm si a_{b}=OM=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}

Astfel in triunghiul dreptunghic VOM aplicam Teorema lui Pitagora,
VM^{2}=VO^{2}+OM^{2}\Rightarrow VM^{2}=3^{2}+\frac{4\cdot 3}{9}\Rightarrow VM=\sqrt{9+\frac{4}{3}}\Rightarrow VM=\sqrt{\frac{27+4}{3}}=\sqrt{\frac{31}{3}}=\frac{\sqrt{31\cdot 3}}{3}=\frac{\sqrt{93}}{3}.

Astfel aria A_{\Delta VBC}=\frac{BC\cdot VM}{2}=\frac{4\cdot\frac{\sqrt{93}}{3}}{2}=2\cdot\frac{\sqrt{93}}{3}=\frac{2\sqrt{93}}{3}\;\; cm^{2}

Dar avem si sa calculam m\left(\widehat{(VBC),(ABC)}\right)
(VBC)\cap (ABC)=BC
Deci ducem perpendicularele din V pe BC si din A pe BC si obtinem: VM\perp BC, VM\subset (VBC)
Dar si AM\perp BC, AM\subset(ABC)
Si obtinem unghiul m\left(\widehat{VM, AM}\right)=m\left(\widehat{VMA}\right)=m\left(\widehat{VMO}\right)
Stim ca OM=\frac{2\sqrt{3}}{3}

Deci putem aplica \tan\widehat{VMO}=\frac{VO}{OM}=\frac{3}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3:\frac{2\sqrt{3}}{3}=3\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}
unghiul a doua plane