Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B si respectiv C fata de A. Aratati ca DE paralel pe BC .
Demonstratie:
Daca D este simetricul lui B fata de A stim ca , iar daca
E este simetricul lui C fata de A obtinem de asemenea ca
Astfel obtinem ca
Astfel avem ca
Dar mai observam si ca
Deci cu cazul de congruenta L.U.L
Deci obtinem si ca:
Dar si ca
.
Observam ca drepta EC intersecteaza dreptele DE si CB in doua puncte distincte diferite, adica in punctele E si C deci EC este secanta si astfel cu criteriile de paralelism obtinem ca: ED||BC
Unghiul (ca unghiuri alterene interne)
In triunghiul ABC fie [BE bisectoarea unghiului B ,cu E apartine (AC) ,iar D apartine (AB) astfel incat [BD] congruent cu [DE] . Aratati ca DE paralel pe BC .
Demonstratie
Observam ca triunghiul BDE este isoscel de baza BD (deoarece din ipoteza avem ca ), astfel obtinem ca:
Dar mai stim si ca BE este bisectoare astfel obtinem ca:
De unde rezulta ca si
Observam ca BE este intersecteaza doua drepte distincte in doua puncte diferite, astfel obtinem ca BE este secanta.
Si cum unghiul DEB congruent cu unghiul ECB ca perechi de unghiuri alteren interne, obtinem cu ajutorul criteriilor de paralelism ca: DE||BC.