Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Prezentam inca o Problema rezolvata Unghiul unei drepte cu un plan

Triunghiul dreptunghic ABC are ipotenuza BC inclusa in planul \alpha, a\notin \alpha. Stiind ca BC=12\sqrt{6} si AB=12\sqrt{2} cm si ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0}, aflati:

a) unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha

b) perimetrul triunghiului A’BC, unde A’ este proiectia punctului A pe planul \alpha

Demonstratie

Cum aflam unghiul unei drepte cu un plan

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, din ipoteza mai stim BC si AB, astfel cu Teorema lui Pitagora calculam AC, astfel AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=\left(12\sqrt{6}\right)^{2}-\left(12\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow AC^{2}=144\cdot 6-144\cdot 2\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot\left(6-2\right)}\Rightarrow AC=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow AC=12\cdot 2\Rightarrow AC=24 cm
Din ipoteza mai stim ca unghiul format de dreapta AB cu planul \alpha este de 45^{0} .Astfel stim ca unghiul format de o dreapta cu un plan este unghiul format de dreapta cu proiectia ei pe plan, si mai stim si ca proiectia unei drepte pe un plan poate fi o dreapta in cazul in care dreapta nu este perpendiculara pe plan sau un punct in cazul in care dreapta este perpendiculara pe plan, in cazul nostru
Fie
AA'\perp \alpha,\\BC\subset\alpha, A'\in \alpha
Stim acum ca
\prec\left(AB,\alpha\right)=\prec\left(AB, A'B\right)=\prec\left(ABA'\right)
Acum aflam
\prec\left(AC,\alpha\right)=\prec\left(AC, CA'\right)=\prec\left(ACA'\right),
Acum trebuie sa aflam masura unghiului. Stim ca triunghiul ACA’ este dreptunghic in A’, stim ca unghiul ABA’ are masura de 45^{0}, astfel daca aplicam

\sin ABA'=\frac{cat. opusa }{ipotenuza}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AA'}{12\sqrt{2}}\Rightarrow AA''=\frac{12\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\Rightarrow AA'=12 cm.

Iar daca in triunghiul AA’C dreptunghic aplicam \sin \prec ACA'=\frac{AA'}{AC}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=30^{0}.
Deci unghiul format de dreapta AC cu planul \alpha este de 30 de grade.
b) P_{\Delta A'BC}=?

Cum BC=12\sqrt{6} cm din ipotenuza

Acum trebuie sa aflam  A’B si A’C.

Astfel  in triunghiul ABA’ dreptunghic in A’ aplicam Teorema lui Pitagora

A'B^{2}=AB^{2}-AA'^{2}\Rightarrow A'B^{2}=\left(12\sqrt{2}\right)^{2}-12^{2}\Rightarrow A'B^{2}=288-144\Rightarrow A'B=\sqrt{144}\Rightarrow A'B=12 cm

Iar in triunghiul ACA’ dreptunghic in A’ aplicam cos ACA’

\cos ACA'=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{CA'}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CA'}{24}\Rightarrow CA'=\frac{24\cdot\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CA'=12\sqrt{3}

Deci cum stim toate lungimile laturilor calculam perimetrul triunghiului

P_{\Delta A'BC}=A'B+A'C+BC=

12+12\sqrt{3}+12\sqrt{6}

=12\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right).

 

Lasă un răspuns