Ne place matematica !

Proiectii ortogonale pe un plan

Pentru a intelege notiunea de proiectie ortogonala pe un plan trebuie sa ne reamintim notiunea de proiectia unui punct pe o dreata.
Astfel stim ca proiectie unui punct pe o dreata este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta.
proiectia
pr_{d}A=A'
Proiectia unui segment pe o dreapta este multimea formata din proiectiile tuturor punctelor pe acea drepta.
Observatie:
Daca drepta suport a segmentului este perpendiculara pe dreapta atunci proiectia segmentului pe drepta este un punct.
proiectia unui segment
pr_{d}AB=A' sau pr_{d}AB=B' (daca segmentul AB este perpendicular pe drepta d ) si pr_{d}AB=A'B' (daca segmentul [AB] nu este perpendicular pe drepta d)
Teorema. Lungimea proiectiei unui segment este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului ascutit pe care dreapta d il face cu segmentul respectiv.
A'B=AB\cdot cos\left(Widehat{AB, d}\right)
Si acum proiectia uni punct pe un plan dupa cum bine iti poti da seama de la definitia proiectiei unui punct pe o dreapta este:
Definitie: Proiectia ortogonala a unui punct P\notin \alpha pe un plan \alpha este piciorul perpendicularei din acel punct pe plan, adica
pr_{\alpha}P=P^{'}
Daca avem cazul in care punctul chiar se afla in interiorul planului atunci proiectia punctului P pe planul \alpha este chiar punctul P.
proiectia unui punct pe un plan
Si notez pr_{\alpha}P=P', daca p\notin \alpha si pr_{\alpha}P=P, daca p\in \alpha
Proiectia unei drepte pe un plan este tot o notiune destul de importanta, deoarece in lectiile urmatoare, o sa vedem ca ea are un rol destul de important pentru a putea calcula unghiul unei drepte cu un plan, asadar
Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta (daca dreapta d nu este perpendiculara pe pan ) si un punct daca dreapta d este perpendiculara pe plan.
Acelasi lucru putem sa-l spune si despre proiectia unui segment pe un plan, adica acesta poate sa fie un punct sau un segment.
Daca segmentul care se proiecteaza este perpendicular pe plan atunci proiectia sa este un punct, in caz contrar este un segment.


Aplicatii
Fie piramida patrulatera regulata VABCD cu AC\cap BD=\left\{O\right\}, M mijlocul lui [BC]. Calculati:
a) pr_{(ABC)}V
b) pr_{(VAC)}B
c) pr_{(ABC)}VA
d) pr_{(ABC)}VM
e) pr_{(VAC)}AB
f) pr_{(VOM)}VB
Demonstratie:

a) Observam ca VO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow VO\perp\left(ABC\right), asadar pr_{(ABC)}VO=O
b) BO\perp VO si BO\perp AC, stim ca baza piramidei patrulatere regulate este patrat, iar diagonalele in patrat sunt perpendiculare AC\subset\left(VAC\right),de unde obtinem ca BO\perp (VAC) si astfel obtinem ca pr_{(VAC)}B=O
c) In cazul de fata avem proiectia unei drepte pe un plan, ca sa nu gresim luam proiectia fiecarui punct pe plan, astfel
pr_{(ABC)}V=O, din a)
Si pr_{(ABC)}A=A, deoarece punctul A apartine planului (ABC), asfel obtinem pr_{(ABC)}VA=OA
d) Proceda la fel ca si la c)
pr_{(ABC)}V=O si pr_{(ABC)}M=M, asadar obtinem ca pr_{(ABC)}VM=OM
e) pr_{(VAC)}A=A, deoarece punctul A apartine planului (VAC), pr_{(VAC)}B=O si astfel obtinem pr_{(VAC)}AB=AO.
f) pr_{(VOM)}VB, la fel ca si la c), d) si e) pr_{(VOM)}V=V, deoarece V apartine planului (VOM) si pr_{(VOM)}B=M, observam ca BM\perp VM si BM\perp OM si astfel obtinem BM\perp(VOM) si astfel obtinem pr_{(VOM)}VB=VM.