Ne place matematica !

Proprietatile generale ale functiilor

La proprietatile generale ale functiilor o sa discutam despre:

 

  • functii marginite
  • functii pare si functii impare
  • functii periodice
  • functii monotone

Asadar incepem cu functiile marginite:

Definitie: Fie f:A\rightarrow R, o functie numerice. Spune ca functia f este marginita, daca exista numerele reale a si b, astfel incat a\leq f\left(x\right)\leq b

Sau functia f:A\rightarrow R este marginita, daca imaginea functiei (multimea valorilor functiei) este inclusa intr-un interval de numere reale.

Adica f marginita, daca \exists a, b\in R, a\leq b, astfel incat Im f\subset [a, b].

De asemenea putem afirma ca o functie este marginita, daca exista M>0 astfel incat |f(x)|\leq M.

 

Dar si cu  ajutorul graficului functii, spune ca o functie este marginita daca graficul sau este cuprins intre doua drepte paralele cu axa OX.

Aplicatii:

Studiati marginirea functiilor:

  1. a) f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}

Asadar calculam

f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1

f(0)=(-1)^{0}=1

f(1)=(-1)^{1}=-1

Astfel obtinem ca Im f=\left\{-1, 1\right\}\subset\left[-1, 1\right], adica este inclusa intr-un interval de numere reale si astfel obtinem ca f(n)=(-1)^{n} este o functie marginita.

  1. b) f:N^{*}\rightarrow N, f(n)=u(2^{n}), unde u(2^{n}) este ultima cifra a numarului 2^{n}

Asadar calculam

f(1)=u(2^{1})=2

f(2)=u(2^{2})=u(4)=4

f(3)=u(2^{3})=u(8)=8

f(4)=u(2^{4})=u(16)=6

f(5)=u(2^{5})=u(32)=2

f(6)=u(2^{6})=u(64)=4

f(7)=u(2^{7})=u(128)=8

Asadar obtinem ca Im f=\left\{2, 4, 6, 8\right\}\subset\left[2, 8\right], adica functia este marginita.

Functii pare si functii impare.

O multime A\subset R se numeste simetrica fata de originea axei reale, daca oricare ar fi x\in A, atunci si -x\in A.

Exemplu (-2, 2) sunt simetrice fata de originea axei reale.

Fie A\subset R o multime simetrica fata de origine si fie f:A\rightarrow R o functie numerica.

Functia f se numeste functie impara, daca f(-x)=-f(x)

Graficul functie impare este simetric fata de origine reperului, adica originea O este centru de simetrie pentru graficul functiei.

Functia f se numeste functie para, daca f(-x)=f(x)

Graficul functiei pare este simetric fata de axa OY, adica axa OY este axa de simetrie pentru graficul sau.

 

Simetria graficului fata de drepte de forma x=m

Fie f:A\rightarrow R o functei numeric si dreapta de ecuatie x=m

Dreapta x=m este axa de simetrie a graficului functiei f, daca si numai daca f(x)=f(2m-x), \forall x\in A

Simetria graficului fata de puncte oarecare in plan.

Graficul functiei f este simetric fata de punctul A\left(a, b\right), daca si numai daca f(x)+f(2a-x)=2b, \forall x\in A.

Aplicatii:

  1. Care dintre urmatoarele functii sunt pare si care sunt impare:
  2. a) f(x)=x^{3}-2x

Pentru stabili daca functia este para sau impara calculam:

f(-x)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}-2x\right)=-f(x), adica functia este impara.

Stim ca orice numar negativ ridicat la o putere impara ne da tot un numar negativ, adica \left(-x\right)^{3}=-x^{3}

Observati ca sus pentru a obtine functia f(x) am dat factor comun fortat un – si astfel am obtinut ca functia estye impara.

  1. b) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}

Astfel calculam:

f(-x)=\frac{\left(-x\right)^{2}}{\left(-x\right)^{6}+1}=\frac{x^{2}}{x^{6}+1}=f(x), adica functei para.

Observati ca in cazul de sus am avut numar negativ ridicat la putere para si am obtinut un numar pozitiv.

Functii periodice

Definitie: Fie f:A\rightarrow R o fuctie numerica. Functai f se numeste functie periodica, daca exista T\in R^{*}, astfel incat f(x+T)=f(x),\forall x\in A.

Numarul T se numeste perioada functiei f.

Daca printre perioadele strict pozitive ale lui f, exista un cel mai mic T_{0}m atunci T_{0}  se numeste perioada principala a functiei f.

Teorema:

Fie f:R\rightarrow R, o functie care are perioada principala T_{0}, k\in Z. Atunci:

– numarul kT_{0}este perioada a functiei f

– oricare ar fi perioada Ta functiei f, exista n\in Z, astfel incat T=n\cdot T_{0}

Aplicatii:

Aflati perioada principala pentru urmatoarele functii:

  1. a) f:Z\rightarrow Z, f(n)=(-1)^{n}

Asadar calculam:

f(-2)=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^{2}}=\frac{1}{4}

f(-1)=(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^{1}}=\frac{1}{-1}=-1

f(0)=(-1)^{0}=1

f(1)=(-1)^{1}=-1

f(2)=(-1)^{2}=1

Observam ca valorile functiei se repeta din 2 in doi.

Intr-adevar:

f(2k)=(-1)^{2k}=1

f(2k+1)=(-1)^{2k+1}=-1

Asadar obtinem ca f(n+2)=f(n)

Adica

f(n+2)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{2}=\left(-1\right)^{n}\cdot 1=\left(-1\right)^{n}=f(n)

Astfel obtinem ca functia f este periodica cu perioada principala T_{0}=2

 

  1. b) Se considera functia f:N\rightarrow N, f(n)=u(7^{n}).

a)Este periodica functia?

b)Care este multimea perioadelor functiei f?

Solutie:

  1. a) Asadar calculam:

f(0)=u(7^{0})=u(1)=1

f(1)=u(7^{1})=u(7)=7

f(2)=u(7^{2})=u(49)=9

f(3)=u(7^{3})=u(343)=3

f(4)=u(7^{4})=u(2401)=1

f(5)=u(7^{5})=u(16807)=7

Observam ca acum cifrele incep sa se repete, astfel obtinem ca

f(n+4)=f(n), adica T_{0}=4

Astfel calculam

f(n+4)=u(7^{n+4})=u(7^{n}\cdot 7^{4})=u(7^{n})\cdot u(7^{4})=u(7^{n})\cdot 1=u(7^{n})=f(n)

Astfel obtinem ca functia este periodica cu perioada principala T_{0}=4

  1. b) Multimea perioadelor functiei este T\in\left\{4\cdot k|k\in N^{*}\right\}.

 

Functii monotone:

Fie functia numerica f:A\rightarrow R.

Spunem ca functia f este crescatoare pe A, daca pentru orice x_{1}, x_{2}\in A, cu x_{1}<x_{2}, rezulta si ca f(x_{1})\leq f(x_{2})

 

Spunem ca functia f este strict crescatoare pe A, daca pentru orice x_{1}, x_{2}\in A, cu x_{1}<x_{2}, rezulta si ca f(x_{1})< f(x_{2})

Spunem ca functia f este descrescatoare pe A, daca pentru orice x_{1}, x_{2}\in A, cu x_{1}<x_{2}, rezulta si ca f(x_{1})\geq f(x_{2})

 

Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe A, daca pentru orice x_{1}, x_{2}\in A, cu x_{1}<x_{2}, rezulta si ca f(x_{1})>f(x_{2}).

Functia f:A\rightarrow R este monotona pe A, daca este crescatoare sau descrescatoare pe A.

 

Functia f:A\rightarrow R estestrict  monotona pe A, daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A.

Modalitati de demonstrare ca o functia f:A\rightarrow R este monotona:

  1. Fie x_{1}, x_{2} elemente oarecare din A cu x_{1}<x_{2}
  2. a) Daca f(x_{1})-f(x_{2})\leq 0, atunci functia este crescatoare
  3. b) Daca f(x_{1})-f(x_{2})\geq 0, atunci functia este descrescatoare
  4. a)Daca \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\geq 0, x_{1}\neq x_{2}, atunci functia este crescatoare.
  5. b) Daca \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\leq 0, x_{1}\neq x_{2}, atunci functia este descrescatoare.

Aplicatii:

Studiati monotonia frunctiilor:

  1. a) f:\left\{-1, 0, 1, 2\right\}\rightarrow R, f(x)=x+1

Solutie:

Calculam:

 

Observam ca x_{1}=-1<x_{2}=0\Rightarrow f(-1)<f(0), adica obtinem ca functia este strict crescatoare.

Dar putem sa aratam si astfe:

Fie x_{1}, x_{2}\in\left\{-1, 0, 1, 2\right\}, x_{1}<x_{2}, atunci:

f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+1-(x_{2}+1)=x_{1}+1-x_{2}-1=x_{1}-x_{2}<0, deoarece x_{1}<x_{2}, atunci functia este crescatoare.

  1. b) f:(0,+\infty)\rightarrow R, f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+|x|}}

Solutie:

Calculam:

f(1)=\frac{1}{\sqrt{1+|1|}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=^{\sqrt{2})}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

f(2)=\frac{1}{\sqrt{2+|2|}}=\frac{1}{\sqrt{2+2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}

Astfel avem ca x_{1}=1 si x_{2}=2, cu x_{1}<x_{2}

Si avem ca f(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1, 41}{2}\approx 0, 70

Iar

f(2)=\frac{1}{2}=0,5, adica obtinem ca: f(1)>f(2), adica functia este strict descrescatoare.