Ne place matematica !

Proprietatile triunghiului isoscel

Inainte sa vorbim de proprietatile triunghiului isoscel ne reamintim definitia triunghiului isoscel.

Definitie: Triunghiul care are doua laturi congruente se numeste triunghi isoscel.

Redactare cu simboluri: \left[AB\right]\equiv\left[AC\right]\Leftrightarrow \Delta ABC este isoscel de baza \left[BC\right]

triunghiul isoscel

Acum enuntam Teoreme referitoare la unghiurile alaturate bazei

Intr-un triunghi isoscel unghiurile alaturate bazei sunt congruente.
Redactare cu simboluri:
\Delta ABC este isoscel de baza \left[BC\right]\Rightarrow \widehat{B}\equiv\widehat{C}

Teorema reciproca: Daca un triunghi are doua unghiuri congruente atunci triunghiul este isoscel.

Redactare de simboluri:\widehat{B}\equiv\widehat{C}\Rightarrow\Delta ABC este isoscel de baza \left[BC\right]

Teorema referitoare la bisectoare, inaltime, mediana si mediatoare.

Intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, inaltimea si bisectoarea unghiului coresunzatoare bazei coincid.

Important la aceasta proprietate este sa stim ca daca intr-o problema, avem un triunghi isoscel si cunoastem de exemplu ca mediana corespunzatoare bazei, atunci stim si ca mediana este si mediatoare si bisectoare dar si inaltime, noi in cazul problemei folosim ceea ce ne convine.

Atentie !!! mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea sunt corespunzatoare doar bazei, nu si pentru celelate doua mediane sau bisectoare sau inaltimi.
mediana, mediatoarea, inaltimea si bisecoarea intr-un triunghi isocel
Triunghiul ABC isoscel
AD bisectoare unghiului BAC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediatoare, si mediana, si inaltime
Sau
AD mediana segmentului BC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediatoare, si bisectoare, si inaltime
Sau
AD mediatoarea segmentului BC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediana, si bisectoare, si inaltime
Sau
AD inaltime segmentului BC in triunghiul ABC rezulta ca AD este si mediatoare, si bisectoare, si mediana.

Problema:
In interiorul triunghiului ABC, cu AB=AC, se considera punctele M si N astfel incat BM=CN si \widehat{MBA}\equiv\widehat{NCA}.Demonstrati ca triunghiul AMN este isoscel.
Demonstratie:
Cum aratam ca un triunghi este isoscel?
\left[BM\right]\equiv\left[CN\right]  \\\widehat{MBA}\equiv\widehat{NCA}  \\ \left[AB\right]\equiv\left[AC\right]\Rightarrow \Delta ABM\equiv \Delta ACN
Observati ca am obtinut ca triunghiurile sunt congruente cu cazul de congruenta L.U.L
De unde rezulta ca \left[AM\right]\equiv\left[AN\right] si deci triunghiul AMN este isoscel.

2) Medianele \left[BM\right] si \left[CN\right] ale triunghiului isoscel ABC cu AB=AC se prelungesc cu segmentele \left[BM\right]\equiv\left[BD\right] si \left[CN\right]\equiv\left[CE\right]
Sa se demonstreze ca triunghiul ADE este isoscel.
Demonstratie:
Observam ca:

proprietatile triunghiului isoscel
\left[AB\right]\equiv\left[AC\right]  \\\widehat{NAC}\equiv\widehat{MAB}
Dar si \left[AM\right]\equiv\left[AN\right] (deoarece BM si CN sunt mediane)
Si astfel cu cazul de congruenta L.U.L \Delta ABM\equiv\Delta ACN
De unde obtinem ca \left[BM\right]\equiv\left[CN\right], dar am obtinut si ca \widehat{ABM}\equiv\widehat{ACN} dar si \widehat{ABD}\equiv\widehat{ACE}
Astfel avem ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{ACE}

Dar si \left[AB\right]\equiv\left[AC\right] (din ipoteza)
Dar si \left[BD\right]\equiv\left[BM\right]  \\\left[CE\right]\equiv\left[CN\right]
Dar mai stim si ca \left[BM\right]\equiv\left[CN\right]
Deci obtinem si ca \left[CE\right]\equiv\left[BD\right]
De unde rezulta cu cazul L.U.L ca \Delta ABD\equiv\Delta ACE
De unde rezulta si ca AD=AE
cum aratam ca un triunghi este isoscel

Deci triunghiul ADE este isoscel.

Important pentru demonstrarea ca un triunghi este isoscel este sa intelegem si sa stim sa aplicam proprietatile triunghiului isoscel,deoarece pe langa proprietatile triunghiului isoscel o sa mai discutam si despre proprietatile triunghiului echilateral dar si proprietatile triunghiului dreptunghic.