Ne place matematica !

Puncte drepte plane, axiomele geometriei in spatiu

Inca din clasele mai mici vi s-au definit notiunile de puncte drepte plane, dar in afara de aceste lucruri vi s-a mai spus si despre teoreme (despre care am invatat mai amanuntit in clasa a VII-a , exemplu Teorema lui Pitagora, Teorema catetei, Teorema inaltimii si multe altele) si axiome (prima axioma care am invatat-o in clasa a VI-a la geometrie este Axioma lui Euclid, care ne spunea ca printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o dreapta si numai una la dreapta data), in afara de axioma care am enuntat-o vi s-au mai enuntat si altele, adica axiomele geometriei in spatiu:

A1. Prin doua puncte distincte trece o singura dreapta. Orice dreapta are doua puncte distincte.

A2. Trei puncte necoliniare determina un plan.

Intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.
Trei puncte necoliniare determina un plan
A3. Daca doua pucte distincte sunt situate intr-un plan, atunci dreapta determinata de ele are toate punctele in acel plan.
Doua puncte distincte sunt situate intr-un plan
A4. Daca doua plane distincte au un punct in comun, atunci ele mai au cel putin inca un punct in comun.
Dupa ce am enuntat axiomele, rezolvam o problema care ne ajuta sa intelegem aceste notiuni.

Problema.
1) Fie triunghiul echilateral ABC si M un punct ce nesituat in planul (ABC), astfel incat MA=6 cm, MB=MC=6\sqrt{3} si MD=6\sqrt{2}, unde D\in (BC) si [BD]\equiv[DC]. Stabiliti natura triunghiului MAD si calculati aria acestuia.
Ip:
<br /> \Delta ABC echilateral
M\notin(ABC)
\\MA=6 cm
\\MB=MC=6\sqrt{3}
\\MD=6\sqrt{2}
\\ D \in (BC)
[BD]\equiv[DC]
Cl:
– natura \Delta ABC
– aria  \Delta ABC.
Dem
Rezolvare probleme, un punct exterior unui plan
Unind punctele A si D, obtinem AD, mediana, dar triunghiul ABC (din ipoteza) echilateral si stim din clasa a VI-a ca mediana poate fi considerata si inaltime, si mediatoare, si bisectoare (din proprietatile triunghiului echilateral)stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este,
h_{\Delta ABC}=\frac{l\sqrt{3}}{2}.
Din ipoteza stim caMB=MC, deci triunghiul MBC este isoscel de baza BC, MD stim ca este mediana (din ipteza), dar si inaltime (conform teoremei de la proprietatile triunghiului isoscel), astfel calculand MD cu Teorema lui Pitagora obtinem BD^{2}=MC^{2}-MD^{2}<br /> \\BD^{2}=(6\sqrt{3})^{2}-(6\sqrt{2})^{2}<br /> \\BD^{2}=108-72<br /> \\BD^{2}=36<br /> \\BD=\sqrt{36}<br /> \\BD=6 cm
Cum BD= DC obtinem BD=DC=6, deci BC=12 cm. Cum triunghiul ABC echilateral obtinem ca AB=AC=BC=12 cm. Cum am aflat laturile triunghiului echilateral ABC putem sa aflam si pe AD, dupa cum am spus si mai sus AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} cm.
In triunghiul MAD stim  MA=6, MD=6\sqrt{2} cm (din ipoteza) si  AD=6\sqrt{3}, iar daca ne uitam cu atentie si aplicam reciproca lui Pitagora obtinem ca triunghiul este dreptunghic.
Deci A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{2}.