Ne place matematica !

Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere

Asa cum v-am mai spus este esential sa stim formulele de calcul prescurtat.Trebuie sa stim sa le aplicam dar si regulile de calcul cu numere reale reprezentate prin litere precum si descompunerea numerelor reale.Asta pentru a putea lucra cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Deci totul se bazeaza pe notiunile pe care le-am invatat pana acum, astfel definim raportul:
Def: Un raport in care termenii sai sunt expresii algebrice se numeste raport (fractie) algebrica sau expresie algebrica rationala.
Domeniul de definitie al unui raport rational este multimea numerica in care iau valori literele ce participa in partea literala a expresiei algebrice care intra in scrierea numaratorului si a numitorului raportului rational, cu exceptia acelor valori ale literelor care anuleaza numitorii.
Adica, important cand trebuie sa aflam domeniul de definitie,  este sa punem conditia ca numitorul sa fie diferit de zero.
Exemplu pentru domeniul de definitie:
a)  \frac{x-\sqrt{5}}{x+11}
Punem conditia ca numitorul sa fie diferit de 0
  x+11=0\Rightarrow x=-11
Deci domeniul de definitie al raportului este  R-\left\{-11\right\}
b)   \frac{5}{3x}  \\3x=0\Rightarrow x=0
Deci D=R^{*}=R-\left\{0\right\}
unde D este domeniul de definitie.
Rezolvam exercitii in care trebuie sa simplificam anumite expresii sau trebuie sa aflam domeniul de definitie:
1)Simplficati rapoartele si stabiliti valorile lui ‘x’ pentru care sunt definite:
a)   \frac{2x^{2}-x-3}{2x^{2}-7x+6}=\frac{2x^{2}-3x+2x-3}{2x^{2}-3x-4x+6}=\frac{2x^{2}+2x-3x-3}{2x^{2}-4x-3x+6}=  \frac{2x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)}{2x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)}=  \frac{\left(x+1\right)\cdot\left(2x-3\right)}{\left(x-2\right)\cdot\left(2x-3\right)}=\frac{x+1}{x-2}
Ca sa simplificam fractia de mai sus, a trebuit sa descompunem in factori atat  numitorul cat si numaratorul, astfel la numarator a trebuit sa-l scriem pe ‘-x’ ca suma de doua numere intregi pentru a putea da factor comun
 2x^{2}-x-3=2x^{2}-3x+2x-3, am luat pe -x si l-am scris ca -3x+2x, adica tot acelasi lucru am obtinut, asta stiti de la descompunerea in factori primi, iar pentru numitor am scris numarul-7x a suma de doua numere intregi, trebuie sa fim foarte atenti cum scriem termenul din mijloc astfel incat numarul care il scriem sa ne ajute foarte mult in descompunere, in cazul nostru am putut sa dam factor comun atat la numarator cat si la numitor, iar apoi am putut sa simplificam fractia.
Ca sa aflam valorile lui ‘x’ pentru care raportul este definita procedam astfel:
- stabilim ce valori trebuie, nu trebuie sa ia x pentru a fi, sau nu fi definita.

  2x^{2}-x-3=0 \Rightarrow 2x^{2}-3x+2x-3=0\Rightarrow 2x^{2}+2x-3x-3=0\Rightarrow 2x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)=0\Rightarrow \left(x+1\right)\cdot \left(2x-3\right)=0

\Rightarrow  \\x+1=0\Rightarrow x=-1  \\2x-3=0\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}.
Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am scris la fel ca si la raport pentru a putea simplifica, in cazul acesta pentru a putea sa-i gasim solutia ecuatiei, ecuatia dupa cum vedem este de gradul II si deci trebuie sa-i gasim cele doua solutii. Putem rezolva ecuatia de mai sus si cu ajutorul rezolvarii ecuatiei de gradul al II-lea. Prezint si modalitatea de rezolvare a ecuatiei cu Delta. Astfel forma ecuatiei de gradul I este ax^{2}+bx+c=0
  2x^{2}-x-3=0  \\a=2,\;\; b=-1,\;\;\; c=-3  \\ \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-1\right)^{2}-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=1+24=25
  \\x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{2}{3}
  \\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1.
Poate vi se pare grea, a doua modalitate de rezovarea ecuatiei ,dar cu putin exercitiu o sa vedeti ca este mult mai usora decat prima si oricum pe semestrul al doilea o sa o invatati, deci mai bine o invatati de pe acum.
Iar valorile lui ‘x’ pentru care raportul este definita sunt D=R-\left\{-1; \frac{2}{3}\right\}