Ne place matematica !

Recapitulare geometrie evaluarea initiala clasa a VIII-a

In clasa a VII-a  profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC  m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC) si AM mediana <br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm.
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
\Delta ABC<br /> m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)
AM mediana
<br /> M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm, m(\prec DAM)=30^{0}.
Cz:
A_{\Delta ABC}=?<br /> P_{\Delta ABC}=?

Dem:
b
<br /> \\m(\prec DAM)=30^{0}<br /> \\AD\bot BC \Rightarrow m(\prec ADM)=90^{0}<br /> \\ m(\prec ADM)+m(\prec DAM)+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\90^{0}+30^{0}+m(\prec AMD)=180^{0}\Rightarrow<br /> \\120^{0}+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow<br /> \\m(\prec AMD)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMD)=60^{0}=m(\prec BMA)<br />
<br /> \\ m(\prec BMC)=180^{0}<br /> \\m(\prec BMC)=m(\prec BMA)+m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ 180^{0}=60^{0}+ m(\prec AMC)\Rightarrow<br /> \\ m(\prec AMC)=120^{0}<br /> .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC  isoscel, avand un unghi de
<br /> 120^{0}celelalte doua alaturate bazei o sa aiba  60^{0}:2=30^{0}. Rezulta ca  m(\prec ACB)=30^{0}. Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0}, fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema  30^{0}-60^{0}-90^{0} obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
<br /> \\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow<br /> \\1024=256+AC^{2}\Rightarrow<br /> \\ 1024-256=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\768=AC^{2}\Rightarrow<br /> \\AC=\sqrt{768}<br />
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem AC=16\sqrt{3}
Astfel
<br /> P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC<br /> \\=16+32+16\sqrt{3}=<br /> \\= 48+16\sqrt{3}=<br /> \\16(3+\sqrt{3}).
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic
<br /> A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{2}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{2}<br /> \\ 128\sqrt{3} cm^{2}.
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
<br /> AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=<br /> \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{32}=<br /> \\\frac{256\sqrt{3}}{32}=<br /> \\8\sqrt{3}