Ne place matematica !

Reprezentarea analitica a dreptei in plan Ecuatia carteziana generala a dreptei

Consideram un plan cartezian P, cu un reper cartezian Ox, Oy.
Definitie: O multime d\subset P este o dreapta daca si numai daca exista trei numere reale a, b, c ci a\neq 0 sau b\neq 0, astfel incat:
d=\left\{\left(x,y\right)|ax+by+c=0\right\}

Daca are loc relatia de mai sus spunem ca d este dreapta de ecuatie: ax+by+c=0 si se scrie d:ax+by+c=0

Despre dreapta d:ax+by+c=0 afirma:
– d are aceeasi directie cu Ox (este orizonatala) daca si numai daca a=0
– d are aceeasi directie cu Oy (este verticala) daca si numai daca b=0
– d este oblica daca si numai daca a\neq 0, si b\neq 0
Dreptele d:ax+by+c=0 si d':a'x+b'y+c'=0 coincid, daca si numai daca exista un numar real \lambda\neq 0 astfel incat:
a'=\lambda\cdot a, b'=\lambda\cdot b, c'=\lambda\cdot c

Aplicatie:

1. Aflati valoarea parametrului c\in R pentru care dreapta de ecuatie d:2x-3y+c=0 trece prin punctul A\left(6, 3\right)

Solutie: A\in d\Rightarrow 2\cdot 6-3\cdot 3+c=0\Rightarrow 12-9+c=0\Rightarrow 3+c=0\Rightarrow c=-3

Deci c=-3.

Ecuatii carteziene particulare a dreptei

Fie dreapta d:Ax+By+C=0, unde A\neq 0 sau B\neq 0

Daca B\neq 0, adica b nu are aceeasi directie cu Oy si avem Ax+By+C=0\Leftrightarrow y=-\frac{A}{B}-\frac{C}{A}, de unde notam y=-\frac{A}{B} si n=-\frac{C}{A} si obtinem ecuatia y=mx+n

Dar exista si reciproca, astfel consideram numerele reale m si n date de ecuatia unei drepte care nu are aceeasi directie cu Oy, y=mx+n

astfel y=mx+n\Leftrightarrow mx-y+n=0\Leftrightarrow ax+by+c=0, cu a=m. b=-1, c=n.

Definitie: Vom spune ca y=mx+n este ecuatia carteziana explicita a dreptei in plan.

Daca dreapta d  are ecuatia y=mx+n, atunci:

– numarul m se numeste panta dreptei d sau coeficientul unghiular al dreptei d.

-numarul n se numeste ordonata la origine a dreptei d

Observatie: Numai dreptele care nu sunt verticale pot fi reprezentate printr-o ecuatie explicita.

Teorema. Daca m este panta unei drepte care nu este verticala si care trece prin punctele A\left(x_{A}, y_{B}\right), B\left(x_{B},y_{B}\right), atunci m=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}

Daca m este panta unei drepte d care nu este verticala si \theta este masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox, atunci m=\tan\theta

Observatie. In cazul dreptei oblice sau orizontale d:y=mx+n, masura unghiului dintre dreapta d si axa Ox este \theta=\arctan m.

Fie d si d’ doua drepte care nu sunt verticale d: y=mx+n si d^{'}:y=m^{'}x+n^{'}

Folosind semnificatia geometrica a pantei, rezulta:

-d si d’ au aceeasi directie daca si numai daca m=m^{'}

– d si d’ sunt paralele daca si numai daca m=m^{'} si d\neq d^{'}

Ecuatia unei drepte care trece printr-un punct dat:

Fie in plan un punct A\left(x_{A}, y_{A}\right) si o dreapta d care trece prin punctul A.

Daca d este verticala atunci ecuatia dreptei d este d:x=x_{A}

Daca d nu este verticala, atunci scriem ecuatia lui d sub forma explicita si anume y=mx+n, unde m,n\in R. cum stim ca A\in d, avem y_{A}=mx_{A}+n, adica n=y_{A}-mx_{A} si cu ecuatia de mai sus obtinem y=mx+n=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y=mx+y_{A}-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=mx-mx_{A}\Rightarrow y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)

Asadar ecuatia unei drepte d care trece prin punctul A\left(x_{A}, y_{A}\right) si are panta m este y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)

Dar trebuie sa scriem si ecuatia unei drepte care trece prin doua puncte distincte.

Ecuatia unei drepte care trece prin punctele distincte A\left(x_{A}, y_{A}\right) si B\left(x_{B}, y_{B}\right) este:

– AB:x=x_{A}, daca x_{A}=x_{B}

AB:y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right), daca x_{A}\neq x_{B}, unde m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}

Aplicatie:

Scrieti ecuatia dreptei care trece prin punctele A, B, unde:

a) A\left(-2,4\right), B\left(-2, 1\right)

Avem x_{A}=x_{B}=-2, deci AB||Oy si AB:x=-2

b) A\left(2, 3\right), B\left(-1, 3\right), deci cu notiunile de mai sus obtinem ca y_{A}=y_{B}, deci AB||Ox si AB:y=2

c) A\left(1, 2\right),B\left(3, 5\right)

Constatam ca dreapta AB este oblica, deoarece:

x_{A}\neq x_{B}\Rightarrow 1\neq 3 si y_{A}\neq y_{B}\Rightarrow 2\neq 5

Iar ecuatia dreptei este: y-y_{A}=m\left(x-x_{A}\right)

Iar m=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}

Iar ecuatia dreptei este: y-2=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\Rightarrow 2\left(y-2\right)=3\left(x-1\right)\Rightarrow 2y-4=3x-3\Rightarrow 3x-2y+4-3=0\Rightarrow 3x-2y+1=0

Sau putem sa scriem ecuatia dreptei si cu ajutorul ecuatiei drepte explicite, deci stim ca y=mx+n

Adica AB:y=mx+n, adica coordonatele punctelor A si B trebuie sa verifice aceasta ecuatie, deci

2=m\cdot 1+n\Rightarrow 2=m+n

Dar si 5=m\cdot 3+n\Rightarrow 5=3m+n acum din cele doua relatii gasite trbuie sa aflam m si n.

2=m+n\Rightarrow m=2-n

Acum daca inlucuim in cea de-a doua relatie obtinem 5=3m+n\Rightarrow 5=3\cdot\left(2-n\right)+n\Rightarrow 5=6-3n+n\Rightarrow 5-6=-2n\Rightarrow -1=-2n\Rightarrow n=\frac{1}{2}

Iar acum sa aflam m m=2-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow m=\frac{3}{2}

Deci ecuatia dreptei este y=mx+n\Rightarrow y=\frac{3}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\Rightarrow 2y=3x+1\Rightarrow 2y-3x-1=0\Rightarrow -3x+2y-1=0\Rightarrow 3x-2y+1=0