Ne place matematica !

Rezolvare subiecte simulare matematica cls. a XI-a Stiintele naturii

Prezentam  rezolvarea pentru subiecte simulare matematica clasa a XI-a. Stiintele naturii.

1) Determinati numarul real x stiind ca numerele x, 36 si 4 sunt in progresie geometrica.

Solutie:

36=\sqrt{4\cdot x}\Rightarrow 36^{2}=4\cdot x\Rightarrow\frac{36\cdot 36}{4}=x\Rightarrow

x=\frac{9\cdot 36}{1}\Rightarrow x=324

2) Fie functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=x+a, \in R Determinati a stiind ca \left(f 0 f\right)\left(x\right)=x

Solutie

\left(f 0f\right)\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x+a\right)=x+a+a=x+2a

Deci x+2a=x\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0

3) Rezolvati ecuatia

3^{-x+2}=\sqrt{3}\Rightarrow 3^{-x+2}=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow -x+2=\frac{1}{2}\Rightarrow -x=\frac{1}{2}-2\Rightarrow -x=\frac{1-4}{2}\Rightarrow -x=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}

Observati ca pentru x=\frac{3}{2} ecuatia se verifica

3^{-\frac{3}{2}+2}=3^{\frac{-3+4}{2}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}

4)

Numărul submulţimilor cu cel mult 3 elemente ale mulţimii M este C^{0}_{4}+C^{1}_{4}+C^{2}_{4}+C^{3}_{4}=\frac{4!}{\left(4-0\right)\cdot 0!}+\frac{4!}{\left(4-1\right)!\cdot 1!}+\frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot 2!}+\frac{4!}{\left(4-3\right)!\cdot 3!}=\frac{4!}{4!}+\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!\cdot 2!}+\frac{4!}{1!\cdot 3!}=1+4+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=5+3\cdot 2+4=5+6+4=15.

4) In reperul cartezian XOY se considera punctul A\left(2,-3\right) si dreapta d:2x+y-5=0. Determinati ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta d.

Solutie :

Gasim mai  intai ecuatia dreptei d’ care trece prin punctul A\left(2, -3\right), astfel avem y-\left(-3\right)=m'\left(x-2\right)\Rightarrow y+3=m'\left(x-2\right), unde

m este panta dreptei d si m’ este panta dreptei d’, unde m_{d}=m'_{d'}

Conditia ca dreptele sa fie perpendiculare este m\cdot m'=-1

Acum sa aflam panta dreptei d.

2x+y-5=0\Rightarrow y=-2x+5

Astfel panta dreptei este m_{d}=-2

Acum din conditia de mai sus avem :

m_{d}\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow -2\cdot m'_{d'}=-1\Rightarrow m'_{d'}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}.

Astfel ecuatia dreptei este :

y+3=m'\left(x-2\right)\Rightarrow

y+3=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\Rightarrow

2y+6=x-2

\Rightarrow 2y+6-x+2=0\Rightarrow -x+2y+8=0\Rightarrow x-2y-8=0

5) Calculati \sin 2x stiind ca x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) si \cos x=\frac{3\sqrt{5}}{7}

Solutie:

Stim ca :

\sin^{2} x+\cos^{2} x=1

Astfel gasim ca :

\sin^{2} x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^{2}=1\Rightarrow \sin^{2} x=1-\frac{9\cdot 5}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{49-9\cdot 5}{49}=\frac{49-45}{49}\Rightarrow \sin^{2} x=\frac{4}{49}\Rightarrow \sin x=\pm \sqrt{\frac{4}{49}}\Rightarrow \sin x=\pm \frac{2}{7}

Astfel avem ca :

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x=2\cdot \frac{2}{7}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{7}=\frac{2\cdot 2\cdot 3\sqrt{5}}{7\cdot 7}=\frac{12\sqrt{5}}{49}

Acum am luata sinusul pozitiv deoarece suntem in cadranul I, iar sinusul este pozitiv