Rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice

Astazi ne ocupam de rezolvari pentru vizitatori si vom trata rezolvarea ecuatiilor exponentiale si logaritmice.

Prezentam mai multe ecuatii exponentiale si logaritmice rezolvate, astfel incepem prin a rezolva o ecuatie exponentiala:

ecuatii logaritmice

a) 5^{x}-5^{3-x}=20

Ca sa rezolvam aceasta ecuatie mai intai ne folosim de regulile de calcul cu puteri si rescriem ecuatia: 5^{x}-5^{3}\cdot 5^{-x}=20 deoarece stim ca a^{-1}=\frac{1}{a}

Ecuatia devine ^{5^{x})}5^{x}-^{1)}5^{3}\cdot\frac{1}{5^{x}}=^{5^{x})}20

Acum daca aducem la acelasi numitor obtinem:

\frac{5^{x}\cdot 5^{x}-1\cdot 5^{3}}{5^{x}}=\frac{5^{x}\cdot 20}{5^{x}}\Rightarrow 5^{2x}-125-20\cdot 5^{x}=0

Aceasta ecuatie putem sa o rescriem:

\left(5^{x}\right)^{2}-20\cdot 5^{x}-125=0

Observati ca am folosit regulile de calcul cu puteri.

Acum daca notam 5^{x}=t ecuatia devine:

t^{2}-20\cdot t-125=0

Si astfel am obtinut o ecuatie de gradul al doilea, unde a=1, b=-20 si c=-125

Acum calculam \Delta =b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-20\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-125\right)=400+500=900

Acum calculam t_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)+\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25

Si t_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{-\left(-20\right)-\sqrt{900}}{2\cdot 1}=\frac{20-30}{2}=\frac{-10}{2}=-5

Deci am obtinut doua solutii ale ecuatiei dar deorece 5^{x}>0, rezulta ca -5 nu poate sa fie egal cu 5^{x} si deci singura solutie a ecuatiei se obtine din 5^{x}=t_{1}\Rightarrow 5^{x}=25\Rightarrow 5^{x}=5^{2}\Rightarrow x=2

b)  9^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Observam ca la fel ca la exercitiul de mai sus avem o ecuatie exponentiala, astfel stim ca

3^{2}=9

Deci ecuatia devine \left(3^{2}\right)^{\sqrt{x}}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Sau cu regula de calcul \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}=a^{n\cdot m}

\left(3^{\sqrt{x}}\right)^{2}-4\cdot 3^{\sqrt{x}}+3=0

Si daca notam 3^{\sqrt{x}}=t

Ecuatia devine t^{2}-4\cdot t+3=0

Iar cu \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si t_{1}=\frac{-\left(-4\right)\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci avem doua solutii pozitive  si avem 3^{\sqrt{x}}=t_{1}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=3\Rightarrow \sqrt{x}=1\Rightarrow x=1

Deoarece avem functia radical pentru a exista radicalul de ordinul doi punem conditia ca x\geq 0\Rightarrow x\in\left[0; +\infty\right)

Dar mai avem si ca 3^{\sqrt{x}}=t_{2}\Rightarrow 3^{\sqrt{x}}=1\Rightarrow

3^{\sqrt{x}}=3^{0} \Rightarrow x=0

Pentru a fi siguri ca solutiile obtinute sunt corecte inlocuim x=0 in ecuatia initiala si obtinem:

9^{\sqrt{0}}-4\cdot 3^{\sqrt{0}}+3=1-4\cdot 1+3=-3+3=0

Deci se verifica.

c) \log_{5}{x^{2}-11x+43}=2

Observam ca in cazul de mai sus avem o ecuatie logartimica, deci mai intai punem conditia ca argumentul sa fie mai mare ca 0, astfel x^{2}-11x+43>0 si studiem semnul functiei sau solutiile ecuatiei gasite la inlocuim in ecuatie sa vedem care o verifica si astfel aflam si solutia astfel ecuatia devine x^{2}-11x+43=5^{2} \Rightarrow x^{2}-11x+43=25\Rightarrow x^{2}-11x+43-25=0\Rightarrow x^{2}-11x+18=0

Acum calculam \Delta=\left(-11\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 18=121-72=49

Acum calculam x_{1}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11+7}{2}=\frac{18}{2}=9

Dar si x_{2}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{11-7}{2}=\frac{4}{2}=2

Iar acum daca inlocuim in ecuatia logaritmica  fiecare solutie gasita, obtinem:

\log_{5}{9^{2}-11\cdot 9+43}=\log_{5}{81-99+43}=\log_{5}{25}=5

Deci se verifica si am obtinut ca o solutie a ecuatiei este 5, acum

\log_{5}{2^{2}-11\cdot 2+43}=\log_{5}{4-22+43}=\log_{5}{25}=5

deci si ce-a de-a doua solutie se verifica si astfel am obtinut ca solutiile ecuatiei sunt 2 si 9.

d) \log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2

In cazul ecuatiei de mai sus punem conditiile:

x+1>0\Rightarrow x>-1\Rightarrow x\i\left(-1; +\infty\right)

3x^{2}+2x-3>0

Si consideram functia: f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=3x^{2}+2x-3

Si studiem semnul functiei \Delta=2^{2}-4\cdot 3\cdot\left(-3\right)=4+36=40

Calculam: x_{1}=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1+\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}

x_{2}=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-2-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\left(-1-\sqrt{10}\right)}{6}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3}

Acum intocmim tabelul de valori:

cum stabilim semnul functie de gradul al doilea

Astfel inecuatia are solutii in intervalul \left(-\infty; -1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

Dar stim si ca x>-1 deci solutia ecuatiei se afla in intervalul \left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)\cap\left(-1; +\infty\right)=\left(-1+\sqrt{10}; +\infty\right)

\log_{x+1}{3x^{2}+2x-3}=2\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=\left(x+1\right)^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1\Rightarrow 3x^{2}+2x-3-x^{2}-2x-1=0\Rightarrow 2x^{2}-4=0\Rightarrow 2\left(x^{2}-2\right)=0\Rightarrow x^{2}-2=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.

Am gasit ca solutiile ecuatiei sunt -\sqrt{2} si \sqrt{2}

Dar nu se afla in intersectia conditiilor de mai sus, deci nu convin.

e) \lg x\cdot\left(\lg x-8\right)+16=0

In cazul ecuatiei de mai sus efectuam calculul

\lg x\cdot \lg x-\lg x\cdot 8+16=0\Rightarrow \lg^{2}x-8\lg x+16=0

Punem conditia ca x>0, deci x\in\left(0; +\infty\right)

Acum daca notam \lg x=y

ecuatia devine y^{2}-8y+16=0

Acum calculam \Delta=\left(-8\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0

Deci solutia ecuatiei este: y_{1}=\frac{-\left(-8\right)+0}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4=y_{2}

Deci solutia ecuatiei este: \lg x=4\Rightarrow x=10^{4}=10000

Acum inlocuim solutia gasita in ecuatie obtinem \lg 10^{4}\left(\lg 10^{4}-8\right)+16=4\cdot 1\left(4\cdot 1-8\right)+16=4\cdot\left(4-8\right)+16=4\cdot\left(-4\right)+16=-16+16=0

Deci se verifica solutia ecuatiei.