Ne place matematica !

Rezolvarea triunghiului dreptunghic Probleme rezolvate

In cadrul acestui articol prezentam doua probleme  pe care le rezolvam cu ajutorul Teoremei lui Pitagora, Teoremei inaltimii, dar si cu ajutorul Teoremei catetei.
Astfel in cazul primei probleme, avem un triunghi dreptunghic, stim o cateta, dar si raportul dintre lungimea proiectiei si ipotenuza. Si avem sa aflam lungimile proiectiilor, ipotenuza, o cateta, dar si inaltimea AD, dusa din varful unghiului A.

1) In triunghiul ABC,mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, AB=14cm si BD supra BC=1 supra 4 . Calculati BD,BC,CD,AC si AD
cum aflam lungimile proiectiilor intr-un triunghi dreptunghic
Stim ca:
\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}
Astfel obtinem:
BD=\frac{1}{4}\cdot BC
In cazul raportului pe care il avem din ipotenuza am scosa BD
Daca aplicam in triunghiul ABC dreptunghic in A, Teorema catetei obtinem:
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow 14^{2}=\frac{1}{4}\cdot BC\cdot BC\Rightarrow 14^{2}\cdot 4=BC^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{14^{2}\cdot 4}\Rightarrow BC=14\cdot 2\Rightarrow BC=28
Iar
BD=\frac{1}{4}\cdot BC=\frac{1}{4}\cdot 28=\frac{28}{4}=7
Acum aflam CD, astfel avem:
CD=BC-BD\Rightarrow CD=28-7=21
Acum aflam AC, in triunghiul ABC aplicam Teorema lui Pitagora:
AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\Rightarrow AC^{2}=28^{2}-14^{2}\Rightarrow AC^{2}=784-196\Rightarrow AC=\sqrt{588}=14\sqrt{3}
Iar AD este AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{14\cdot 14\sqrt{3}}{28}=\frac{1\cdot 14\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{1}=7\sqrt{3}
Urmatoarea problema avem la fel un triunghi dreptunghic, avem inaltimea din varful unghiului A, dar problema ne ofera informatii si despre rapoartul celor doau proiectii. In cadrul acestei probleme stim aria triunghiului. Pornind de la aria triunghiului o sa aflam pentru inceput lungimea proiectiilor catetelor, lungimile catetei si lungimea inaltimii.

2.) In triunghiul ABC, mA=90 grade, AD perpendiculara pe BC, BD supra DC= 4 supra 9 si aria triunghiului este egala cu 3900cm patrati.Calculati:
a) lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza:BD si DC ;
b) lungimile catetelor AB si AC ;
c) Lungimea inaltimii AD
Probleme rezolbvate cu Teorema cateteiTeorema lui Pitagora si Teorema inaltimii
Demonstratie:
Stim ca:
\frac{BD}{DC}=\frac{4}{9}, astfel obtinem BD=\frac{4}{9}\cdot DC
Mai stim si ca
A_{\Delta ABC}=3900 cm^{2}\Rightarrow \frac{AB\cdot AC}{2}=3900
Dar cu Teorema catetei stim ca:
AB=\sqrt{BD\cdot BC}
dar si
AC=\sqrt{CD\cdot BC}
Astfel obtinem:
\frac{\sqrt{BD\cdot BC}\cdot\sqrt{CD\cdot BC}}{1}=2\cdot 3900\Rightarrow
\frac{\sqrt{BD\cdot CD\cdot BC^{2}}}{1}=7800\Rightarrow BC\sqrt{BD\cdot DC}=7800\Rightarrow
BC\cdot\sqrt{\frac{4}{9}DC\cdot DC}=7800\Rightarrow BC\cdot \frac{2}{3}DC=7800\Rightarrow BC\cdot DC=7800\cdot\frac{3}{2}\Rightarrow BC\cdot DC=3900\cdot 3\rightarrow \left(BD+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow\left(\frac{4}{9}DC+DC\right)\cdot DC=11700\Rightarrow \frac{13}{9}DC^{2}=11700\Rightarrow DC^{2}=11700\cdot \frac{9}{13}\Rightarrow DC^{2}=900\cdot 9\Rightarrow DC=\sqrt{900\cdot 9}\Rightarrow DC=30\cdot 3=90\;\; cm
Obsevati ca am folosit Teorema catetei pentru a afla lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
Iar
BD=\frac{4}{9}\cdot DC=\frac{4}{9}\cdot 90=4\cdot 10=40\;\; cm
Deci am aflat lungimile proiectiilor.

Acum sa aflam lungimile catetelor
Stim ca
BC\cdot DC=11700
Dar stim cu Teorema inaltimii ca BC\cdot DC=AC^{2}

Astfel avem ca AC^{2}=11700\Rightarrow AC=\sqrt{11700}=30\sqrt{13}

Acum pentru a afla AB stim ca BC=BD+DC=90+40=130
Iar daca aplicam Teorema catetei obtinem ca
AB^{2}=BD\cdot BC\Rightarrow AB^{2}=40\cdot 130\Rightarrow AB=\sqrt{40\cdot 130}\Rightarrow AB=\sqrt{5200}\Rightarrow AB=20\sqrt{13}
Acum ca sa aflam lungimea inaltimii stim ca
AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{40\cdot 90}=\sqrt{3600}=60\;\; cm