Rezolvari probleme si exercitii de matematica

Momentan nu mai oferim rezolvari. ­čÖü

 

116 comentarii la “Rezolvari probleme si exercitii de matematica

    • Intr-un trapez dreptunghic, cu diagonalele perpendiculare intre ele, raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 iar aria trapezului este 1350 cm patrati. Sa se afle lungimile bazelor si a inaltimii trapezului,
      Multumesc!

      Demonstratie:

       

      Stim ca
      \frac{DC}{AB}=\frac{9}{16} (raportul lungimilor bazelor este 9 supra 16 )
      Si mai stim si ca
      A_{ABCD}=\frac{\left(AB+DC\right)\cdot AD}{2}, adica daca inlocuim cu informatiile pe care le avem obtinem:
      1350=\frac{\left(AB+DC\right)\cdot AD}{2}\Rightarrow 1350\cdot 2=\left(AB+DC\right)\cdot AD\Rightarrow \left(AB+DC\right)\cdot AD=2700\;\; cm^{2}
      Dar mai stim si ca
      \frac{DC}{AB}=\frac{9}{16}\Rightarrow DC=\frac{9}{16}\cdot AB
      Si daca inlocuim mai sus obtinem:
      \left(AB+\frac{9AB}{16}\right)\cdot AD=2700 (1)

      trapez ortodiagonal
      Dar acum observam ca nu avem nicio informatie despre AD, adica inaltimea trapezului, astfel construim paralela prin C la diagonala DB, care intersecteaza dreapta suport a bazei mari in punctul B.

      cum aflam inaltimea intr-un trapez ortodiagonal
      Cum am constriut paralela prin C la DB, observam ca AC secanta si \widehat{AOB}\equiv\widehat{ACB'} (ca unghiuri corespondente), astfel obtinem ca m\left(\widehat{ACB'}\right)=90^{0}
      De unde mai observam ca EB’=AB (BDCB’ paralelogram) si AE=DC (ADCE dreptunghi)
      Si cum observam ca triunghiul ACB’ dreptunghic in C, si CE inaltime in triunghiul dreptunghic, aplicam Teorema inaltimii
      CE^{2}=AE\cdot EB'
      Dar observam ca CE=AD si astfel obtinem AD^{2}=DC\cdot AB\Rightarrow AD=\sqrt{DC\cdot AB}
      Si daca inlocuim in relatia (1) obtinem
      \left(^{16)}AB+\frac{9AB}{16}\right)\cdot AD=2700\Rightarrow\left(\frac{16AB+9AB}{16}\right)\cdot\sqrt{DC\cdot AB}=2700\Rightarrow
      \frac{25AB}{16}\cdot\sqrt{\frac{9AB}{16}\cdot AB}=2700\Rightarrow
      \frac{25AB}{16}\cdot\sqrt{\frac{9AB^{2}}{16}}=2700\Rightarrow
      \frac{25A}{16}\cdot\frac{3AB}{4}=2700\Rightarrow
      \frac{75AB^{2}}{64}=2700\Rightarrow AB^{2}=2700\cdot\frac{64}{75}^{(25}\Rightarrow
      AB^{2}=108\cdot\frac{64}{3}^{(3}\Rightarrow AB^{2}=36\cdot\frac{64}{1}\Rightarrow AB=\sqrt{36\cdot 64}=6\cdot 8=48
      Iar
      DC=\frac{9}{16}\cdot 48^{(16}=\frac{9}{1}\cdot 3=27
      Iar lungimea inaltimii trapezului este
      CE=\sqrt{AB\cdot CD}=\sqrt{48\cdot 23}=\sqrt{4^{2}\cdot 3\cdot 3^{3}}=4\cdot 3\cdot 3=36\;\; cm

    • CUM ARATAM CA UN PATRULATER ESTE PARALELOGRAM

      Stim din ipoteza ca ABCD paralelogram, adica de la proprietatile paralelogramului referitoare la diagonale stim ca
      [AO]\equiv[CO] si [BO]\equiv[DO]

      Dar in cazul nostru patrulaterul convex BMDN, cu [BD], diagonala si [BO]\equiv[DO], dar si MN diagonala, astfel observam ca
      \Delta AOB\equiv\Delta COD, adica
      [AO]\equiv[CO], dar si [BO]\equiv[DO], dar si [AB]\equiv[CD], deci cu cazul de congruenta L.U.L, observa ca cele doua triunghiuri sunt congruente si astfel obtinem si ca [MO]\equiv[NO]

      Si cu reciproca teoremei referitoare la diagonale de la paralelogram obtinem ca BMDN paraleologram
      Reciproca referitoare la diagonale spune ca
      Daca intr-un patrulater convex diaagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

  1. ABCD este un romb si O este un punct exterior planului sau.Se construiesc simetricele lui O fata de A,B,C si D care se noteaza cu A’,B’ C’ si respectiv D’.Aratati ca dreptele A’C’ si B’D’ sunt drepte concurente si A’C’ perpendicular B’D’.

  2. 1. Aratati ca x este un patrat perfect:
    a) x=1+3+5+…..101
    Solutie:
    Pentru a calcula suma mai intai trebuie sa aflam numarul de termeni, astfel pentru a afla numarul de termenii folosim formula:
    n=\left(u-p\right):r+1,unde
    u= ultimul termen al sumei
    p=primul termen al sumei
    n= numarul de termenii al sumei pe care trebuie sa-i aflam
    r= ratia (adica diferenta dintre doi termeni consecutivi ai sumei)
    Astfel obtinem ca:
    r=3-1=2
    Iar suma termenilor
    n=\left(101-1\right):2+1=100:2+1=50+1=51
    Astfel stim ca termenii sumei sunt in numar de:51
    Acum pentru a calcula suma folosim formula
    [(u+p)\cdot n]:2, adica prumul termeni plus ultimul termen totul inmultit cu numarul de termeni, iar produsul obtinut impartit la doi.
    astfel obtinem
    1+3+5+...+101=[(101+1)\cdot 51]:2=102\cdot 51:2=5202:2=2601=51^{2}, adica patrat perfect.
    Sau daca ati invatat factorul comun folosim formula lui Gauss, si factorul comun, astfel suma se rescrie
    1+3+5+...+101=1+(1+2)+(1+4)+...+(1+100)=
    1+1\cdot 50+2\left(1+2+3+...+50\right)=
    1+50+2\cdot\left[50\cdot\left(50+1\right)\right]:2=51+2\cdot 50\cdot 51:2=51+50\cdot 51=51\left(50+1\right)=51\cdot 51=51^{2}, care la fel este un patrat perfect.
    Observati ca in cazul metodei a doua am folosit formula
    1+2+3+...+n=\left[n\cdot\left(n+1\right)\right]:2
    b) x=4+8+12+….196
    In cazul de mai sus folosim tot metoda factorului comun intrucat in acest caz este mai usoara
    Astfel avem ca x=4\cdot\left(1+2+3+...+49\right)
    Iar cu formula lui Gauss obtinem:
    x=4\cdot\left[49\cdot\left(49+1\right)\right]:2=4\cdot\left(49\cdot 50\right):2=4\cdot2450:2=9800:2=4900=\left(7^{2}\cdot 10^{2}\right)=\left(7\cdot 10\right)^{2}=70^{2}, si astfel am obtinut tot un patrat perfect.

    c) x=1+3+5+…..2005
    Pentru a calcula suma de mai sus folosim prima formula, astfel mai intai aflam numarul de termeni:
    n=\left(2005-1\right):2+1=2004:2+1=1002+1=1003
    unde 2 este ratia, adica r=3-1=2
    Astfel am aflat ca termeni sunt in numar 1003
    Acum aplicand formula pentru cei 1003 termeni obtinem
    1+3+5+...+2005=\left[\left(2005+1\right)\cdot 1003\right]:2=\left(2006\cdot 1003\right):2=2012018:2=1006009=1003^{2}
    Sau cu suma lui Gauss cum am aratat mai sus:
    1+3+5+...+2005=1+(1+2)+(1+4)+...+(1+2004)=
    1+1\cdot 1002+2\left(1+2+3+...+1002\right)=
    1+1002+2\cdot[1002\cdot(1002+1)]:2=1003+2\cdot 1002\cdot 1003:2=1003+1002\cdot 1003=1003\left(1002+1\right)=1003\cdot 1003=1003^{2}, adica patrat perfect.
    Pentru a afla cate cifre de 1 apar putem sa observam si la ultimul termen al sumei cand am factorul comun, astfel in cazul nostru 1002.
    d) x=1004+2+4+……2006
    Pentru a arata ca suma de mai sus este patrat perfect calculam mai intai suma 2+4+6+...+2006
    La fel cum factorul comun obtinem
    2\cdot\left(1+2+3+...+1003\right)=2\cdot\left[1003\cdot\left(1003+1\right)\right]=2\cdot 1003\cdot 1004:2=1003\cdot 1004
    si astfel obtinem ca
    x=1004+1003\cdot 1004=1004\left(1+1003\right)=1004\cdot 1004=1004^{2}

    e) x=1203+2+4+……..2404
    La fel ca si mai sus calculam mai intai suma
    2+4+...+2404=2\cdot\left(1+2+...+1202\right)=2\cdot\left[1202\left(1202+1\right)\right]:2=2\cdot 1202\cdot 1203:2=1202\cdot 1203Inlocuind in x obtinem
    x=1203+1202\cdot 1203=1203\left(1+1202\right)=1203\cdot 1203=1203^{2}, adica patrat perfect

    f) x=5 la puterea a 10 + 6 inmultit cu 5 la a 9 + 9 inmultit cu 5 la a 8
    x=5^{10}+6\cdot 5^{9}+9\cdot 5^{8}
    Dand factor comun pe 5^{8} obtinem:
    5{8}\left(5^{2}+6\cdot 5+9\right)=5^{2}\left(25+30+9\right)=5^{2}\cdot 64=5^{2}\cdot 8^{2}=\left(5\cdot8\right)^{2}=40^{2}, adica patrat perfect.
    2. Aratati ca :
    M= 111+ 222 la a 2 + 333 la a 3 + 444 la a 4 + 555 la a 5 – 12345 nu este patrat perfect
    M=111+222^{2}+333^{3}+444^{4}+555^{5}-12345
    Astfel cu regulile de calcul cu puteri avem
    M=111+\left(2\cdot 111\right)^{2}+\left(3\cdot 111\right)^{3}+\left(4\cdot 111\right)^{4}+\left(5\cdot 111\right)^{5}-12345
    De unde obtinem
    M=111+2^{2}\cdot 111^{2}+3^{3}\cdot 111^{3}+4^{4}\cdot 111^{4}+5^{5}\cdot 111^{5}-12345
    Astfrl dand factor comun pe 111 obtinem:
    M=111+4\cdot 12321+3^{3}\cdot 111^{3}+4^{4}\cdot 111^{4}+5^{5}\cdot 111^{5}-12345
    Astfel obtinem
    3. Aratati ca a=3 la 2012 + 6 la 2012 nu este patrat perfect
    4. Calculati dublul lui 2 la a 18
    5. Aratati ca n=3 + 3 la a 2 +3 la a 3 +3 la a 4 a + 3 la a 5 +3 la 6 este patrat perfect
    6. Aratati ca n=3 la puterea 2n+2 inmultit cu 4 la 2n+3 – 2 la 2n+1 inmultit cu 6 la2n+3 este patrat perfect pentru orice n numar natural
    7. Aratati ca n=(3 la 201 + 3 la 204 ) : ( 3 la 201 – 3 la 200 + 3 la 199) este patratul lui 6
    8. Determinati ultima cifra a numerelor: a=3 la 2012, b=2 la 2013 , c=5 la 2015 + 6 la 2014 +4 la 2013 + 3 la 2012 +2 la 2011 si d= 3 la n+1 inmultit cu 5 la n+2 – 15 n – 3 la n inmultit cu 5 n+1, unde n este nr. natural
    9. Aratati ca n este nr. patrat perfect, unde n=1+ 2 la puterea 0 + 2 la 1 +2 la 2 + 2 la 3 + ……+ 2 la 2001

    Nota : In lucru ­čÖü !

      • 2. Aratati ca :
        M= 111+ 222 la a 2 + 333 la a 3 + 444 la a 4 + 555 la a 5 – 12345 nu este patrat perfect
        M=111+222^{2}+333^{3}+444^{4}+555^{5}-12345
        Astfel cu regulile de calcul cu puteri avem
        M=111+\left(2\cdot 111\right)^{2}+\left(3\cdot 111\right)^{3}+\left(4\cdot 111\right)^{4}+\left(5\cdot 111\right)^{5}-12345
        De unde obtinem
        M=111+2^{2}\cdot 111^{2}+3^{3}\cdot 111^{3}+4^{4}\cdot 111^{4}+5^{5}\cdot 111^{5}-12345
        Astfrl dand factor comun pe 111 obtinem:
        M=111+4\cdot 12321+3^{3}\cdot 111^{3}+4^{4}\cdot 111^{4}+5^{5}\cdot 111^{5}-12345
        Astfel obtinem
        M=111+49284+333^{3}+444^{4}+555^{5}-12345
        De unde obtinem M=49395-12345+333^{3}+444^{4}+555^{5}
        Adica
        M=37050+333^{3}+444^{4}+555^{5}
        Astfel daca calculam ultima cifra a numaului M obtinem
        U(M)=U(37050+333^{3}+444^{4}+555^{5})= U(U(37050)+U(333^{3})+U(444^{4})+U(555^{5}))=U(0+3^{3}+4^{0}+5^{1})=U(0+27+1+5)=U(33)=3, adica M nu este patrat perfect.
        3. Aratati ca a=3 la 2012 + 6 la 2012 nu este patrat perfect
        a=3^{2012}+6^{2012}
        La fel ca si la exercitiul anterior calculam ultima cifra a numarului a, astfel avem:
        U(a)=U(3^{2012}+6^{2012})=U(U(3^{2012})+U(6^{2012}))=U(3^{0}+6^{0})=U(1+1)=2, cum ultima cifra este 2 rezulta ca numarul a nu este patrat perfect.
        4. Calculati dublul lui 2 la a 18
        5. Aratati ca n=3 + 3 la a 2 +3 la a 3 +3 la a 4 a + 3 la a 5 +3 la 6 este patrat perfect
        n=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}
        La fel ca si mai sus calculam ultima cifra a numarului n
        U(n)=U(3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6})=U(U(3)+U(3^{2})+U(3^{3})+U(3^{4})+U(3^{5})+U(3^{6}))=U(3+9+27+3^{0}+3^{1})=U(34)=4, cum ultima cifra este 4 rezulta ca n este patrat perfect.
        6. Aratati ca n=3 la puterea 2n+2 inmultit cu 4 la 2n+3 – 2 la 2n+1 inmultit cu 6 la2n+3 este patrat perfect pentru orice n numar natural
        n=3^{2n+2}\cdot 4^{2n+3}-2^{2n+1}\cdot 6^{2n+3}
        Astfel n devine
        n=3^{2n}\cdot 3^{2}\cdot 4^{2n}\cdot 4^{3}-2^{2n}\cdot 2^{1}\cdot 6^{2n}\cdot 6^{3}
        Astfel obtinem ca
        n=\left(3\cdot 4\right)^{2n}\cdot 3^{2}\cdot 4^{3}-\left(2\cdot 6\right)^{2n}\cdot 2^{1}\cdot 6^{3}
        Adica
        n=12^{2n}\cdot 9\cdot 64-12^{n}\cdot 2\cdot 216=12^{n}\left(9\cdot 64-2\cdot 216\right)=12^{2n}\cdot\left(576-432\right)=12^{2n}\cdot 144=12^{2n}\cdot 12^{2}=12^{2n+2}=12^{2\cdot(n+1)}=\left(12^{n+1}\right)^{2}, unde obtinem ca n este patrat perfect
        7. Aratati ca n=(3 la 201 + 3 la 204 ) : ( 3 la 201 – 3 la 200 + 3 la 199) este patratul lui 6
        n=\left(3^{201}+3^{204}\right):\left(3^{201}-3^{200}+3^{199}\right)
        and factor comun obtinem
        n=[3^{201}\left(1+3^{3}\right)]:[3^{199}\left(3^{2}-3+1\right)]=3^{201}\cdot 28:3^{199}\cdot 7=3^{201-199}\cdot 28:7=3^{2}\cdot 4=9\cdot 4=36, care este patratul lui 6.
        8. Determinati ultima cifra a numerelor: a=3 la 2012, b=2 la 2013 , c=5 la 2015 + 6 la 2014 +4 la 2013 + 3 la 2012 +2 la 2011 si d= 3 la n+1 inmultit cu 5 la n+2 – 15 n – 3 la n inmultit cu 5 n+1, unde n este nr. natural
        a=3^{2012}, ultima cifra a lui a este
        U(3^{2012})=U(3^{0})=1
        Pentru a afla ultima cifra a unui numar impartim exponentul la 4 si luam restul ca exponent, astfel pentru
        b=2^{2013}, avem U(b)=U(2^{2013}), impartind pe 2013:4 obtinem 503 rest 1, si cum pe noi restul ne intereseaza obtinem ca U(b)=U(2)=2
        c=5^{2015}+6^{2014}+4^{2013}+3^{2012}+2^{2011}
        Astfel avem
        U(c)=U(5^{2015}+6^{2014}+4^{2013}+3^{2012}+2^{2011})=U(U(5^{2015})+U(6^{2014})+U(4^{2013})+U(3^{2012})+U(2^{2011}))=U(5^{3}+6^{2}+4^{1}+3^{0}+2^{3})=U(125+36+4+1+8)=U(174)=4

  3. Pentru maine, va rog !
    1. Aratati ca n este nr. patrat perfect, unde n= 1+2 la 0 +2 la 1 +2 la 2 +2 la 3 +……2 la 2001
    2. Aratati ca n mai mic decat 2 la 51, unde n= 2 la 0 + 2 la1 + 2 la 2 ….+2 la 50
    3. Aratati ca urmat. nr. sunt patrate perfecte:
    a) n= 2014 + ( 1+2+……… + 2013) inmultit cu 2
    b) n= 2 la 2n+1 + 5 inmultit cu 2 la 2n+2 + 4 la n

    • 1. Folosind formula de calcul a^{0}+a^{1}+a^{2}+a^{3}+....+a^{n}=\left(a^{n+1}-1\right):\left(a-1\right). obtinem pentru suma
      2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+...+2^{2001}=\left(2^{2001+1}-1\right):\left(2-1\right)=2^{2002}-1
      Acum stim ca
      n=1+2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+...+2^{2001}, adica
      n=1+2^{2002}-1=2^{2002}
      Iar pentru a afla daca este patrat perfect calculam ultima cifra a numarului:
      U(n)=U(2^{2002})=U(2^{0})=1, cum ultima cifra este 1, rezulta ca n este patrat perfect.
      2. $latex n<2^{51}$
      unde $latex n=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+...+2^{50}$
      La fel ca si mai sus $latex n=\left(2^{50+1}-1\right):\left(2-1\right)=\left(2^{51}-1\right):1=2^{51}-1<2^{51}$
      3. a) $latex n=2014+(1+2+3+...+2013)\cdot 2$
      Mai intai calculam suma cu ajutorul Formulei lui Gauss
      $latex 1+2+3+4+...+2013=\left[2013\cdot\left(2013+1\right)\right]:2=\left(2013\cdot 2014\right):2=4054182:2=2027091$
      Acum inlocuind in n obtinem
      $latex n=2014+2027091\cdot 2=2014+4054182=2014+2013\cdot 2014=2014\left(1+2013\right)=2014\cdot 2014=2014^{2}$, adica este patrat perfect.
      b) $latex n=2^{2n+1}+5\cdot 2^{2n+2}+4^{n}\cdot 3$
      Astfel cu regulile de calcul cu puteri n devine:
      $latex n=2^{2n}\cdot 2^{1}+5\cdot 2^{2n}\cdot 2^{2}+\left(2^{2}\right)^{n}\cdot 3$
      Adica
      $latex n=2^{2n}\cdot 2+2^{2n}\cdot 5\cdot 4+2^{2n}\cdot 3=2^{2n}\left(2+5\cot 4+3\right)=2^{2n}\cdot\left(2+20+3\right)=2^{2n}\cdot 25=2^{2n}\cdot 5^{2}=\left(2^{n}\cdot 5\right)^{2}$, adica patrat perfect

  4. 1.ordonati crescator nr naturale a,b,c,d,e,f stiind ca:a+3=b-8=c+9=d-9=e+14=f-13
    2.determinati nr de forma abc stiind ca a+1=b=c-1
    3.determinati nr naturale n si abc(scris in baza 10)pt care abc*n=1abc(scris in baza 10)

    multumesc celor care ma pot ajuta
    daca se poate ceva informatii teoretice despre probleme de numarare

  5. reptele OA , OB si OC sunt perpendiculare doua cate doua , OAÔŐąOBÔŐąOCÔŐąOA si OA= 12ÔłÜ2 CM.
    Aflati :
    a) distanta de la A la M ; MÔłłBC
    b)distanta lui O la planul (ABC)
    c)distanta de la C la planul (AOM)
    d) Daca NÔłłAc , AN=NC, stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul (AOB)
    HELPPP !!!!!!!!!!!

    • Pentru a arata ca f este izomorfism de la grupul (G,*) la (H,o)
      aratam mai intai ca f este bijectiva, f este morfism, adica f(x*y)=f(x)o f(y)
      1.f este bijectiva, daca f este injectiva si surjectiva
      f injectiva
      Presupunem f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}-1=x_{2}-1\Rightarrow x_{1}=x_{2}, deci f este injectiva.
      Acum f este surjectiva \Leftrightarrow \forall y\in (2;+\infty), \exists x\in (3;+\infty) astfel incat f(x)=y
      Astfel avem
      f(x)=y\Rightarrow x-1=y\Rightarrow x=y+1\in (3,+\infty), astfel obtinem ca f este surjectiva.
      cum f surjectiva si injectiva obtinem ca f este bijectiva.
      2. avem ca
      f(x*y)=xy-3x-3y+12-1=xy-3x-3y+11
      Si
      f(x)of(y)=(x-1)o(y-1)=(x-1)(y-1)-2(x-1)-2(y-1)+6=xy-x-y+1-2x+2-2y+2+6=xy-3x-3y+11=f(x*y),\forall x\in (3, +\infty), deci f este morfism
      din 1. si 2. rezulta ca f este izomorfism

    • Stim ca l=\frac{3}{8}\cdot L
      Si mai stim si ca A=1944\Rightarrow L\cdot l=1944
      ar stim de mai sus ca latimea este egala cu 3 optimi din lungime, astfel daca inlocuim in relatia cu aria gasim:
      L\cdot \frac{3}{8}\cdot L=1944\Rightarrow L^{2}\cdot\frac{3}{8}=1944\Rightarrow L^{2}=1944:\frac{3}{8}\Rightarrow L^{2}=1944\cdot\frac{8}{3}
      Astfel obtinem
      L^{2}=\frac{1944\cdot 8}{3}\Rightarrow L^{2}=\frac{15552}{3}\Rightarrow L^{2}=5184
      Observati ca am obtinut ca lungimea la patrat este egal cu 5184. Pentru cei care stiti radicalul este simplu, dar pentru cei care nu l-ati invatat, descompunem numarul 5184
      5184=2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3^{2}\Rightarrow L^{2}=\left(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\right)^{2}\Rightarrow L^{2}=72^{2}
      Cum avem acelasi exponent egalam bazele, adica L=72
      Iar latimea:
      l=\frac{3}{8}\cdot L\Rightarrow l=\frac{3}{8}\cdot 72=\frac{3\cdot 72}{8}=\frac{216}{8}=27

  6. 1)Fie functiile f,g:(0;+Ôł×)-R, f(X)=1+ln x si g(x)=x\ln x . Aratati ca g este o primitiva a lui f
    2) Fie functiile latex f,g:(0;+Ôł×)-R, f(X)=x^{2} + x\ln x si g(x) = 2x+ln x+1. Aratati ca f este o primitiva a lui g.
    3)Fie functiile f,F:R-R, f(x)=e^{x}+3 x^{2} +2,F(x)=e^{x}+x^{3}+2x-1. Aratati ca F este o primitiva a lui f
    4) Fie functiile f:R-R f(x)=f(x)= \left \{ {{x+2,x\ \textless \ 0} \atop {e^x+1,x \geq0 }} \right.
    Aratati ca f admite primitive pe R.

  7. 1)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=x+y-2
    a)Calculati 5*(-5)
    2)Aratati ca legea de compozitie „*” este comutativa
    3)Calculati (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3
    2)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa x*y=x+y-1
    a)Aratati ca x*1=x pentru orice x apartine lui R
    b) Rezolvati in multimea numerelor reale x*x*x=4
    3)Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=2xy-6x-6y+21
    a) Aratati ca x*y =2(x-3)(y-3)+3 oricare ar fi x,y apartine lui R
    b)Aratai ca legea „*” este asociativa
    c) Calculati 1*2…*2011
    4) Pe multimea R se defineste legea de compozitie x*y=xy+x+y
    a) Aratati ca „*” este asociativa
    b) Determinati elementul neutru al legii „*”
    c)Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia x^2*2=x*4

    • Notam cu x pretul unei carti cu 9 lei, y pretul unei carti cu 15 lei si z pretul unei carti cu 20 lei
      Astfel formam ecuatiile:
      x+y+z=107 (avem 107 carti)
      Dar si
      9\cdot x+15\cdot y+20\cdot z=1550 (in total s-au patiti 1550 lei)
      Dar mai stim si ca y=z-7

      Inlocuind in prima ecuatie obtienem:
      x+z-7+z=107\Rightarrow x+2z=107+7\Rightarrow x=114-2z
      Acum inlocuind in cea de-a doua ecuatie obtinem
      9\cdot\left(114-2z\right)+15\cdot\left(z-7\right)+20z=1550
      De unde obtinem:
      9\cdot 114-9\cdot 2z+15\cdot z-15\cdot 7+20z=1550\Rightarrow 1026-18z+15z-105+20z=1550\Rightarrow 20z-18z+15z=1550+105-1026\rightarrow 17z=1655-1026\Rightarrow 17z=629\Rightarrow z=629:17\Rightarrow z=37
      Deci s-au cumparat 37 de cari cu 20 de lei.
      Acum stim ca
      y=z-7\Rightarrow y=37-7=30, adica s-au cumparat 30 carti cu 15 lei
      Si stim ca
      x=114-2z\Rightarrow x=114-2\cdot 37\Rightarrow x=114-74\Rightarrow x=40 cu 9 lei
      Pentru a efectua proba stim ca x+y+z=107, adica 40+30+37=70+37=107. Deci se verifica

  8. 1. Se considera patratul Efgh si punctele M apartine (EF), N apartine (FG),P apartine (GH) si Q aparine (HE) astefel incat [EM] congruent cu [FN] congruent cu [GP] congruent cu [HQ]. Aratati ca MNPQ este patrat.
    2. In trunghiul [BM, M apartine 9AC0. Din punctul M se duce MN parpendicular pe BC, N apartine (BC), iar prin punctul N se duc paralele NP || AB si NQ || AC, unde P apartine (AC) si Q apartine (AB). Aratti ca:
    a) AQNP este dreptungi;
    b) Qp = AN= BC/2

  9. Consider the circle having the center in C(0,1) and the radius r=2.
    a) Draw the circle in a rectangular system of coordinates;
    b) Write the equation of this circle;
    c) Find the coordinates of points M and N of intersection between this circle and the x-axis;
    d) Find the coordinates of points P and Q of intersection between this circle and the y-axis;
    e) Discuss the nature of tetragon MPNQ and compute its area;
    f) Compute the perimeter of tetragon MPNQ.

    Sper ca cerinta in limba engleza sa nu fie o problema masora, as putea sa traduc daca nu se intelege.

  10. Aflati numerele naturale x si y,astfel incat urmatoarele egalitati sa fie adevarate:
    a) 3/5 amplificat cu y si sa fie echivalent cu x/10
    b) 7/x amplificat cu y si sa fie echivalent cu 21/15
    c) x+2/x+7 amplificat cu y si sa fie echivalent cu 3x+6/48
    Va rog cat mai repede!!!!

    • Notam egalitatea cu P(n):1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}
      Pentru n=1 obtinem 1=[1\cdot(1+1)]:2\Rightarrow 1=\frac{1\cdot 2}{2}\Rightarrow 1=1
      Deci pentru n=1 se verifica.
      Presupunem pentru n=k afirmatia adevarata si demonstram n=k+1
      Adica P\left(k\right)\Rightarrow P\left(k+1\right)
      P(k):1+2+3+....+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}
      Pentru
      P\left(k+1\right):1+2+3+....+k+k+1=\frac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)}{2}
      Adica:
      1+2+3+....+k+(k+1)=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2} *(1)
      Astfel stim ca P(k):1+2+3+...+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}
      Din (1) avem:
      P(k)+(k+1)=\frac{k\left(k+1\right)}{2}+^{2)}(k+1)=
      \frac{k\left(k+1\right)+2\cdot\cdot\left(k+1\right)}{2}=
      \frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}
      Deci am demostrat.
      Astfel pentru a demostra prin inductie matematica trebuie mai intai sa ne asiguram ca egalitatea se verifica, adica etapa de verificare, apoi presupunem implicatia P(K) adevarat si demostram P(K+1)

  11. a= radical din 7 -1 supra radical 7 +1 pe langa 8 – 2 radical 7 x (ori) radical din 5 + radical din 2 supra radical din 5 – radical din 2 + radical din 5 + radical din 2 supra radical din 5 + radical din 2.
    b= radical din 16 la a 2 + 12 la a 2 + radical 16 la a 2 – 12 la a 2 – radical din 16 – 12 (radical mare) la exercitiu b.
    Determinati medie aritmetic─â,geometric─â ╚Öi armonic─â. C├ót mai repede,v─â mul╚Ťumesc!

  12. x= [( 7/45 + 11/30 – 5/12) : 1,0(5) – 0,05] : 1/40
    y= 0,8(3) + [0,1(6) – 0,(4) + 0,08(3)] : 7/3 x 7/20 x 19/80
    Cerinta: Aratati ca x ori y=1
    Scuzati-ma pentru dublu post …Daca se poate rezolvarile cat mai repede deoarece maine am teza la matematica si vreau sa fiu sigur daca le-am facut bine …

Las─â un r─âspuns