Ne place matematica !

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor Determinarea intervalelor de convexitate si concavitate

Dupa ce am invatat rolul derivatei intai in studiul functiilor dar si a punctelor de extrem, a venit vremea sa discutatm despre rolul derivatei a doua, in studiul functiilor dar si intervalelor de convexitate si concavitate.
Dar mai intai sa definim notiunea de convexitate si concavitate:

a) Functia f:I\rightarrow R, I un interval de numere reale, se numeste functia convexa pe intervalul I, daca pentru oricare x_{1}, x_{2}\in I si oricare t\in\left[0,1\right] are loc inegalitatea
f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\leq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)

b) Functia f:I\rightarrow R, I un interval de numere reale, se numeste functia concava pe intervalul I, daca pentru oricare x_{1}, x_{2}\in I si oricare t\in\left[0,1\right] are loc inegalitatea
f\left[\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right]\geq\left(1-t\right)f\left(x_{1}\right)+tf\left(x_{2}\right)

Dupa ce am definit notiunile teoretice prezentam un criteriu practic pentu a stabili daca o functie (de doua ori derivabila) este convexa sau concava pe un interval folosind semnul derivatei a doua a functiei.

Teorema

Fie f:\left[a,b\right]\rightarrow R, a<b o functie care verifica conditiile:

a) f este continua pe intervalul inchis \left[a,b\right]
b) f este derivabila de doua ori pe intervalul deschis \left(a, b\right)

Atunci:

1) daca f^{''}\left(x\right)\geq 0,\forall x\in\left(a,b\right), rezulta ca functia f este convexa pe intervalul inchis \left[a,b\right)
2) daca f^{''}\left(x\right)\leq 0,\forall x\in\left(a,b\right), rezulta ca functia f este concava pe intervalul inchis \left[a,b\right)
Modul practic de determinare a intervalelor de convexitate si de concavitate a functiei f:\rightarrow R este urmatorul:

1) Se calculeaza derivata a doua f^{''} pe domeniul de existenta D_{f^{''}}\subset D
2) Se rezolva ecuatia f^{''}\left(x\right)=0 pe multimea D_{f^{''}}
3) Se descompune domeniul de definitie al functiei in intervalele disjuncte pe care f^{''} nu se anuleaza(prin intermediul zerourilor derivatei a doua si eventual al punctelor in care functia f nu se anuleaza de doua ori)
4) Se determina semnul derivatei a doua pe fiecare interval obtinut la 3)

Astfel daca f^{''}>0 pe un interval, rezulta ca functia este convexa pe acel interval
Daca f^{''}<0 pe un interval, rezulta ca functia este concava pe acel interval

Exemplu:

1) Sa se determine intervalele de convexitate/ concavitate pentru
a) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{x^{2}-1}{x-2}
Stabilim mai intai domeniul de definitie, astfel avem:
x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2
Deci D=R-\left\{2\right\}
Calculam acum
f^{'}\left(x\right)=\left(\frac{x^{1}-1}{x-2}\right)^{'}=\frac{\left(x^{2}-1\right)^{'}\cdot\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot\left(x-2\right)^{'}}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x\left(x-2\right)-\left(x^{2}-1\right)\cdot 1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+1}{\left(x-2\right)^{2}}=\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}
Acum calculam:

f^{''}\left(x\right)=\left(f\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{x^{2}-4x+1}{\left(x-2\right)^{2}}\right)^{'}=
\frac{\left(2x-4\right)\cdot\left(x-2\right)^{2}-\left(x^{2}-4x+1\right)\cdot\left[2\left(x-2\right)\cdot 1\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=
\frac{\left(x-2\right)\cdot\left[\left(2x-4\right)\left(x-2\right)-2\left(x^{2}-4x+1\right)\right]}{\left(x-2\right)^{4}}=
\frac{2x^{2}-4x-4x+8-2x^{2}+8x-2}{\left(x-2\right)^{3}}=\frac{6}{\left(x-2\right)^{3}}

Deci obtinem ca f^{''}\left(x\right)\neq 0, \forall x\in R-\left\{2\right\}
Mai calculam si
\lim\limits_{x\to -\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\frac{2x}{1}}=-\infty
Ca sa calculam limita de mai sus am aplicat regula lui L’Hospital.

Calculam acum si \lim\limits_{x\to+\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\frac{2x}{1}}=+\infty

Dar si \lim\limits_{x\to 2\;\;x<2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{-}_0}=-\infty
\lim\limits_{x\to 2\;\;x>2}{\frac{x^{2}-1}{x-2}}=\frac{4}{{+}_0}=+\infty
Tabelul pentru studiul convexitatii/ concavitatii functiei f este:
studiul convexitatii si concavitatii unei functii
Astfel observam ca functia f este
convexa pe intervalul \left(2,+\infty\right) si concava pe intervalul \left(-\infty,2\right)
b) f:D\rightarrow R, f\left(x\right)=\ln x+\frac{x^{2}}{2}
Aflam mai intai domeniul e definitie al functiei, astfel punem conditia ca
x>0\Rightarrow x\in\left(0,+\infty\right)
Astfel functia f este definita pe f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R
Acum calculam:
f^{'}\left(x\right)=\left(\ln x+\frac{x^{2}}{2}\right)^{'}=\frac{1}{x}+\frac{2x\cdot 2-x^{2}\cdot 0}{4}=\frac{1}{x}+\frac{4x}{x}=\frac{1}{x}+x

Ca sa calculam prima derivata am folosit regula de calul \left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f^{'}\cdot g-f\cdot g^{'}}{g^{2}}
unde f=x^{2} si g=2
Calculam acum
f^{''}\left(x\right)=\left(f^{'}\left(x\right)\right)^{'}=\left(\frac{1}{x}+x\right)^{'}=-\frac{1}{x^{2}}+1=\frac{-1+x^{2}}{x^{2}}
La derivata a doua la fel am alicat formula de mai sus sau mai stim si direct ca \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}
Acum calculam
f^{''}\left(x\right)=0\Rightarrow -1+x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1
Cum domeniul de definitie este \left(0,+\infty\right) rezulta ca doar x=1 este solutie a ecuatiei.
Calculam acum
\lim\limits_{x\to 0 x>0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 0 x>0}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=-\infty
Dar si
\lim\limits_{x\to +\infty}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty}{\ln x+\frac{x^{2}}{2}}=+\infty

Acum realizam tabelul de variatie:
Calculam acum
f^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{-1+\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-4+1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{-3}{4}\cdot\frac{4}{1}=-3
Deci pe intervalul \left(0,1\right) f^{''}\left(x\right)<0, deci finctia este concava
Acum calculam:
f^{''}\left(2\right)=\frac{-1+2}{4}=\frac{1}{4}>0
Deci pe intervalul \left(1,+\infty\right), f^{''}\left(x\right)>0, functia este convexa.
cand o functie este concava