Ne place matematica !

Simetria fata de o dreapta

Majoritatea uita notiunea de simetria fata de o dreapta, adica simetricul unui punct fata de o dreapta sau, mai mult, unui dintre voi stiti ce inseamna dar nu stiti sa o construiti. Astfel stim de la simetria unui punct fata de un punct ca:
Simetricul unui punct A fata de un punct O este punctul B cu proprietatea ca distanta de la A la O este egla cu distanta de la B la O, cu alte cuvinte ca O este mijlocul segmentului AB.
CUM DESENAM SIMETRICUL UNUI PUNCT FATA DE UN PUNCT

si notam: S_{O}A=B sau S_{O}B=A
Dar noi astazi o sa discutam despre simetria unui punct fata de o dreapta.

Definitie: Doua punct A si B se numesc simetrice fata de o dreapta d, daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].
cum arata simetria unui punct fa
Observatie: Daca doua puncte sunt simetrice in raport cu o dreapta atunci fiecare dintre ele este simetricul celuilalt fata de dreapta data.
La fel ca mai sus notam S_{d}A=B si citim simetricul punctului A fata de dreapta d este punctul B. Astfel daca avem
S_{d}A=B\Rightarrow d\perp AB, d\cap AB={O}, [OA]\equiv[OB]
Aplicatii: Fie D un punct pe ipotenuza [BC] in triunghiul dreptunghic ABC. Notam cu E, respectiv F simetricele punctului D fata de AB, respectiv AC. Aratati ca:

a) punctele E, A, F sunt coliniare
b) EF=2\cdot AD

Demonstratie:
Fie DE\cap AB=\left\{M\right\} si DF\cap AC=\left\{P\right\}
Si in dreptunghiul AMDP construim diagonala AD
Astfel avem triunghiurile \Delta AMD si \Delta AME
Astfel avem [AM]\equiv[AM] (latura comuna)
[MD]\equiv [ME] (E erste simetricul lui D fata de AB)
\widehat{AMD}\equiv\widehat{AME}

Deci cu cazul de congruenta L.U.L \Delta AMD\equiv\Delta AME de unde obtinem ca \widehat{MAD}\equiv\widehat{MAE}
Dar si \Delta APD si \Delta APF adica avem [AP]\equiv[AP](latura comuna)
[PD]\equiv[PF](F este simetricul lui D fata de dreapta AC)
Dar si \widehat{APF}\equiv\widehat{APD}
Si cu cazul de congruente L.U.L obtinem ca \Delta APD\equiv\Delta APF
de unde obtinem ca \widehat{PAD}\equiv\widehat{PAF}

Si astfel avem ca m\left(\widehat{EAF}\right)=m\left(\widehat{EAM}\right)+m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{DAP}\right)+m\left(\widehat{PAF}\right)=2\cdot\left(m\left(\widehat{MAD}\right)+m\left(\widehat{PAD}\right)\right)=2\cdot 90^{0}=180^{0}, deci punctele F, A, E sunt coliniare.
simetria unui punct fata de o dreapta

b) EF=2\cdot AD
Observam ca EF=EA+AF
Mai sus am demonstrat ca \Delta AEM\equiv\Delta ADM, de unde obtinem si ca [AE]\equiv[AD]
Dar mai stim si ca \Delta APD\equiv\Delta APF, adica [AD]\equiv[AF]
Si astfel obtinem EF=AE+AF=AD+AD=2\cdot AD, ceea ce trebuia sa demonstram.
2. Daca C\notin AB si D este simetricul punctului C fata de AB, aratati ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD
Demonstratie:

Fie AB\cap CD=\left\{O\right\}
Astfel consideram triunghiurile:
\Delta AOC si \Delta AOD dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD
[AO]\equiv[AO] (latura comuna)
[CO]\equiv[DO](D este simetricul lui C fata de dreapta AB)
Astfel obtinemn cu cazul C.C ca
\Delta AOC\equiv\Delta AOD so obtinem ca [AC]\equiv[AD] (1)
Acum consideram triunghiurile:
\Delta COB si \Delta DOB, dreptunghice, deoarece AB mediatoarea dreptei CD si avem:
[CO]\equiv[DO] (deoarece D simetricul lui C fata de AB)
[BO]\equiv[BO](latura comuna) si cu cazul de congruneta C.C obtinem ca
\Delta COB\equiv\Delta DOB, de unde obtinem si ca [CB]\equiv[DB] (2)
Astfel avem triunghiurile:
\Delta ABC si \Delta ABD
Stim ca [AC]\equiv[AD] (din (1))
Dar si [CB]\equiv[DB] (din (2))
Si observam ca [aB]\equiv[AB] (latura comuna) si astel cu cazul de congruenta de la la truighiuri oarecare L.L.L obtinem ca \Delta ABC\equiv\Delta ABD.
cum arata simetricul unui punct fata de o dreapta
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunea de simetricul unui punct fata de un punct, dar si simetria unui punct fata de o dreapta, notiuni care sunt destul de importante, constituind baza pentru ceea ce v-a urma.