Cum rezolvam problemele cu ajutorul ecuatiilor

Inca o data o sa rezolvam problemele trimise de voi cu ajutorul ecuatiilor.

1. Intr-un bloc sunt in total 60 apartamente de 2 si 4 camere. Aflati cate apartamente de fiecare fel sunt, daca blocul are 190 de camere.

Solutie:

Notam cu x apartamentele cu 2 camere si y apartamentele cu 4 camere.

Astfel formam ecuatiile:

x+y=60 (in bloc sunt 60 de apartamente)

2x+4y=190 (in bloc sunt 190 de camere)

Astfel am obtinut doua ecuatii cu doua necunoscute

x+y=60

Si 2x+4y=190\Rightarrow 2\left(x+2y\right)=190|:2\Rightarrow x+2y=95\Rightarrow x=95-2y

Acum daca inlocuim in prima ecuatie obtinem:

x+y=60\Rightarrow 95-2y+y=60\Rightarrow 95-60=2y-y\Rightarrow 35=y\Rightarrow y=35

Deci numarul apartamentelor cu 4 camere este de 35, iar cele cu 2 camere sunt:

x=95-2\cdot y\Rightarrow x=95-2\cdot 35\Rightarrow x=95-70\Rightarrow x=25

Deci numarul apartamentelor cu 2 camere este de 25.

2. O treime din suprafata unei gradini este acoperita cu flori, o sesime cu legume, iar pe restul de 100 m patrati este gazon. Care este suprafata gradinii?

Solutie:

Notam cu x suprafata gradinii

stim ca \frac{1}{3}\cdot x  o treime din suprafata unei gradini este acoperita cu flori

\frac{1}{6}\cdot x o sesime cu legume si restul de 100 mp cu gazon

Deci formam ecuatia: x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}x-100=0 (deci din suprafata intreaga a gradinii o treime este acoperita cu flori, o sesime cu legume si restul de 100 mp cu gazon ) si astfel obtinem o ecuatie , pe care trebuie sa o rezolvam: ^{6)}x-^{2)}\frac{1}{3}x-^{1)}\frac{1}{6}x-^{6)}100=0

Deci ecuatia obbinuta am amplificat-o pentru a puta elimina numitorul comun al fractiilor:

\frac{6x}{6}-\frac{2x}{6}-\frac{x}{6}-600=0\Rightarrow \frac{6x-2x-x-600}{6}=0\Rightarrow 6x-2x-x-600=0\Rightarrow 3x-600=0\Rightarrow 3x=600|:3\Rightarrow x=200 m^{2}

Deci suprafata intregii gradini este de 200 mp.

Iar suprafata acoperita cu flori este \frac{1}{3}\cdot x=\frac{1}{3}\cdot 200=\frac{200}{3}\;\; m^{2}

Iar suprafata cultivata cu legume este de \frac{1}{6}\cdot x=\frac{1}{6}\cdot 200=\frac{200}{6}^{(2}=\frac{100}{3}

Si restul de 100 mp sunt plantati cu  gazon.

3. Afla scazatorul daca descazutul este 900 si diferenta este cu 175 mai mica decat descazutul

Stim ca D= descazutul si S= scazatorul  si diferenta

dar din ipoteza problemei stim ca D=900 D-S=Diferenta

deci stim ca diferenta este cu 175 mai mica decat descazutul

Diferenta=D-175=900-175=725

Iar daca inlocuim in relatia de mai sus D-S=Diferenta obtinem 900-S=725, deci obtinem ca S=scazatorul este: S=900-725

Deci scazatorul este 175 daca efectuam proba obtinem D-S=Diferenta 900-175=725

Deci diferenta este 725.

Exercitii rezolvate cu ordinea efectuarii operatiilor

Prezentam un exercitiu rezolvat unde folosim ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor.

\left\{0,2+\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) :\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right] :\left(-^{2)}\frac{2}{3}+^{3)}\frac{1}{2}\right)\right\}\cdot\left(\sqrt{-5}\right)^{2}

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus  respectam ordinea efectuarii operatiilor si folosirea parantezelor. Adica mai intai in paranteza dreapta efectuam ridicarea la putere prin folosirea regulilor de calcul cu puteri \left\{\frac{2}{10}^{(2}+\left[\frac{3^{2}}{2^{2}}\cdot\frac{2^{3}}{3^{3}}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{2^{2}}{3^{2}}\right]:\left(-\frac{2\cdot 2}{6}+\frac{3\cdot 1}{6}\right)\right\}\cdot 5

Ca sa intelegem de ce \left(\sqrt{-5}\right)^{2}=\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=+5

Acum efectuam ridicarea la putere si obtinem \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{27}+\left(-\frac{1}{3}\right):\frac{4}{9}\right]:\left(-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}\right)\right\}\cdot 5=    \left\{\frac{1}{5}+\left[\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{9}{4}^{(3}\right]:\left(\frac{-4+3}{6}\right)\right\}\cdot 5

Observati ca am mai efectuat anumite simplificari pentru a ne simplifica calculele, acum observam ca ne dispare paranteza rotunda, iar cea dreapta se transforma in rotunda si acolada in dreapta.

\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{6}\right) \right]\cdot 5=

Acum in prima paranteza aducem la acelasi numitor

Observat ca numitorul comun este 12 si obtinem \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8}{12}-\frac{9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5

Observati ca mai sus am efectuat si impartirea celor doua paranteze, adica prima fractie inmultita cu inversul celei de-a doua \left[\frac{1}{5}+\left(\frac{8-9}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{12}\right)\cdot\left(-\frac{6}{1}^{(6}\right)\right]\cdot 5=    \left[\frac{1}{5}+\left(+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}\right)\right]\cdot 5=    \left(^{2)}\frac{1}{5}+^{5)}\frac{1}{2}\right)\cdot 5=    \left(\frac{2\cdot 1}{10}+\frac{5\cdot 1}{10}\right)\cdot 5=\left(\frac{2}{10}+\frac{5}{10}\right)\cdot 5=\frac{2+5}{10}\cdot 5=\frac{7}{10}\cdot 5^{(5}=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}

Si astfel am obtinut rezultatul \frac{7}{2}

2. Irina are de rezolvat 16 probleme de matematica . Poate sa rezolve in timp de doua zile repartizand un nr egal de probleme in fiecare zi ? Dar in trei zile ? Dar in patru ? Justificati.

Poate sa rezolve cele 16 probleme in doua zile si in fiecare zi acelasi numar de probleme, deoarece 16:2=8

Daca ar fi sa rezolve cele 16 probleme in 3 zile, nu se poate deoarece 16:3=5 rest 1, adica in 2 zile ar rezolva 5 probleme si in a treia zi ar rezolva 6 probleme.

Iar in patru zile poate sa rezolve problemele, adica in fiecare zi ar rezolva cate 4 probleme.

 

Rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive

Poate va intrebati de ce trebuie sa invatati sa rezolvati ecuatiile sau de ce trebuie sa le rezolvam. Un motiv ar fi ca ecuatiile joaca un rol esential in rezolvarea mai multor activitati desfasurate de oameni de natura stiintifica, tehnic, economica si astfel unele din aceste aspecte sunt elucidate cu ajutorul ecuatiilor.
Din acest motiv studiul ecuatiilor devin o necesitate.
Stiti inca din clasa a V-a ca am invatat sa rezolvam ecuatiile in multimea numerelor naturale, acum invatam sa rezolvam ecuatii in multimea numerelor rationale. Astfel prezentam

Rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale pozitive
O ecuatie in multimea numerelor rationale are forma
ax+b=c
unde x= este necunoscuta ecuatiei, iar un numar x_{0} se numeste solutie a ecuatiei daca verifica:
a\cdot x_{0}+b=c
A rezova o ecuatie inseamna ai determina multimea solutiilor ecuatiei.
Se pune intrebarea fireasca Cum rezolvam o ecuatie in multimea numerelor rationale?
ax+b=c
-punem in evidenta termenul care contine necunoscuta ax=c-b
-efectuam diferenta c-b=d
– rescriem ecuatia ax=d
– punem in evidenta factorul x x=\frac{d}{a}
-scriem multimea solutiilor ecuatiei S=\left\{\frac{d}{a}\right\}
Exercitii
1) Rezolvati ecuatiile
a) \frac{3}{7}-\frac{2}{35}=x\Rightarrow \frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{35}=x\Rightarrow \frac{15-2}{35}=x\Rightarrow \frac{13}{35}=x\Rightarrow x=\frac{13}{35}. S=\left\{\frac{13}{35}\right\}
Observam ca ecuatia de mai sus are deja pus in evidenta factorul x, astfel efecutam scaderea celor doua numere naturale adica am adus la acelasi numitor cele doua fractii, am efectuat calculele. Ca sa fim siguri ca am efectuat corect calculul verificam daca solutia ecuatiei care am gasit-o verifica ecuatia. Astfel
\frac{3}{7}-\frac{2}{35}=\frac{13}{35}\Rightarrow
\frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{35}=\frac{13}{35}\Rightarrow
\frac{15-2}{35}=\frac{13}{35}\Rightarrow
\frac{13}{35}=\frac{13}{35}.
Deci solutia care am gasit-o verifica ecuatia.
b) \frac{3}{5}x+1\frac{2}{9}=2\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{3}{5}x+\frac{1\cdot 9+2}{9}=\frac{2\cdot 3+1}{3}\Rightarrow \frac{3}{5}x+\frac{11}{9}=\frac{7}{3}\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{7}{3}-\frac{11}{9}\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{3\cdot 7-1\cdot 11}{9}=\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{21-11}{9}\Rightarrow \frac{3}{5}x=\frac{10}{9}\Rrightarrow x=\frac{10}{9}:\frac{3}{5}\Rightarrow x=\frac{10}{9}\cdot\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{50}{27}\Rightarrow x=1\frac{23}{27}, S=\left\{1\frac{23}{27}\right\}
Pentru a rezolva ecuatia de mai sus  prima data am introdus intregii in fractii, apoi am pus in evidenta termenul care contine necunoscuta, am efectuat diferenta din membrul drept , iar apoi am efectuat impartirea prin inmultirea cu inversul celei de-a doua, iar din rezultatul pe care l-am obtinut  am scos intregii din fractii.
c) \frac{x-1}{2}+\frac{x+2}{4}+\frac{1}{3}=\frac{x+5}{8}+1\frac{7}{12}\Rightarrow  \frac{x-1}{2}+\frac{x+2}{4}+\frac{1}{3}=\frac{x+5}{8}+\frac{19}{12}\Rightarrow  \frac{6\cdot\left(x-1\right)+3\cdot\left(x+2\right)+4\cdot 1}{12}=\frac{3\cdot\left(x+5\right)+2\cdot 19}{24}\Rightarrow \frac{6x-6+3x+6+4}{12}=\frac{3x+15+38}{24}\Rightarrow \frac{9x+4}{12}=\frac{3x+53}{24}\Rightarrow \frac{9x+4}{12}-\frac{3x+53}{24}=0\Rightarrow \frac{2\cdot\left(9x+4\right)-1\cdot\left(3x+53\right)}{24}=0\Rightarrow  18x+8-3x-53=0\Rightarrow 15x-45=0\Rightarrow 15x=45\Rightarrow x=\frac{45}{15}\Rightarrow x=3, S=\left\{3\right\}.

La ecuatia c) am adus in membrul stang la acelasi numitor adica 12, atentie cand amplificam numaratorul inmultim cu fiecare termen din el, iar in membrul drept am adus de asemenea la acelasi numitor adica 24, am efectuat calculele, iar apoi rezultatul obtinut in membrul drept l-am trecut cu semn schimbat  in membrul stang si am efectuat calculele separand termenii.

Deci important la rezolvarea ecuatiilor in multimea numerelor rationale sa respectam pasii pe care trebuie sa-i urmam.

Scaderea numerelor rationale

Dupa ce am am vorbit despre adunarea numerelor rationale, astazi vom vorbi despre scaderea numerelor rationale.
Dupa cum stim de la adunarea numerelor rationale ca adunarea a doua numere rationale este tot un numar rational asa si diferenta a doua numere rationale este tot un numar rational. Incepem prin a rezolva cateva exercitii:

1) Efectuati:
a) <br /> -1\frac{3}{7}-\left[\left(-\frac{5}{42}\right)-\left(-\frac{3}{14}\right)-\left(+\frac{4}{21}\right)\right]=\\<br /> -\frac{1\cdot 7+3}{7}-\left(-\frac{5}{42}+\frac{3}{14}-\frac{4}{21}\right)=\\<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-1\cdot 5+3\cdot 3-2\cdot 4}{42}\right)=\frac{10}{7}-\left(\frac{-5+9-8}{42}\right)=<br /> -\frac{10}{7}-\left(\frac{-4}{42}\right)=-\frac{10}{7}-\left(\frac{-2}{21}\right)=-\frac{10}{7}+\frac{2}{21}=\frac{-10\cdot 3+1\cdot 2}{21}=\frac{-30+2}{21}=\frac{-28}{21}=-\frac{4}{3}<br /> .

Pentru a calcula exercitiul de mai sus am introdus intregii in fractii unde a fost nevoie, iar apoi am efectuat calculele din paranteza cu mare grija sa nu gresim semnele, am adus la acelasi numitor prima data in paranteza iar apoi primul termen cu ce am obtinut din paranteza, rezultatul obtinut l-am simplificat prin 7.

b) <br /> \left[1,3(5)-0,0(2)+0,(6)\right]-\left(1\frac{7}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{135-13}{90}-\frac{2}{90}+\frac{6}{9}\right)-\left(\frac{22}{15}-\frac{1}{5}\right)=\\<br /> \left(\frac{122}{90}-\frac{1}{45}+\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1\cdot 22-3\cdot 1}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122\cdot 1-2\cdot 1+30\cdot 2}{90}\right)-\left(\frac{22-3}{15}\right)=\\<br /> \left(\frac{122-2+60}{90}\right)-\frac{19}{15}=\frac{180}{90}-\frac{19}{15}=\\<br /> 2-\frac{19}{15}=\frac{15\cdot 2-1\cdot19}{15}=\frac{30-19}{15}=\frac{11}{15}<br />

La exercitiul b) am transformat fractiile periodice simple si mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut, apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun) in fiecare parnteza rezultatele obtinute din cele doua paranteze le-am gasit numitorul comun si am efectuat calculele obtinand o fractie subunitara (numaratorul mai mic decat numitorul).

c) \left[2,08(3)-3\frac{5}{6}\right]-\left(3\frac{3}{4}-2\frac{1}{8}-2\frac{1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{2083-208}{900}-\frac{3\cdot 6+5}{6}\right)-\left(\frac{3\cdot 4+3}{4}-\frac{2\cdot 8+1}{8}-\frac{2\cdot 6+1}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{1875}{900}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{15}{4}-\frac{17}{8}-\frac{13}{6}\right)=\\<br /> \left(\frac{75}{36}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{6\cdot 15-3\cdot 17-4\cdot 13}{24}\right)=\\<br /> \left(\frac{25}{12}-\frac{23}{6}\right)-\left(\frac{90-51-52}{24}\right)=\\<br /> \frac{1\cdot 25-2\cdot 23}{12}-\left(\frac{-13}{24}\right)=\frac{25-46}{12}-\left(-\frac{13}{24}\right)=\\<br /> \frac{-21}{12}+\frac{13}{24}=\frac{2\cdot(-21)+1\cdot 13}{24}=\frac{-42+13}{24}=\frac{-29}{24}=-\frac{29}{24}=-1\frac{5}{24}

La exercitiul c) am transformat fractiile periodice mixte in fractii ordinare, am simplificat pe unde am putut pentru a ne simplifica calculele, iar apoi am adus la acelasi numitor si am calculat folosind regulile de calcul cu numere intregi, iar apoi am scos intregii din fractie.
Deci foarte important sa calculam corect, sa stim regulile de calcul cu numere intregi.

Adunarea numerelor rationale

Despre adunarea numerelor rationale am mai invata si in clasa a VI- a, dar doar despre numerele rationale pozitive, acum ca stim sa rezolvam si exercitii cu numere intregi, o sa rezolvam si exercitii cu numere rationale negative. Astfel stim ca: daca adunam doua numere rationale obtinem tot un numar rational. Proprietatile adunarii numerelor rationale pozitive:

-Adunarea este asociativa a+(b+c)=(a+b)+c
-Adunarea numerelor rationale este comutativa a+b=b+a
-Elementul neutru pentru adunare este 0.
Pentru a intelege mai bine, pentru a ne reamintim cum se efectueaza adunarea numerelor rationale .O sa efectuam cateva exercitii:

1) Calculati
a) <br /> -\frac{3}{5}+0,2+\left(-\frac{6}{10}\right)+0,8=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{2}{10}-\frac{6}{10}+\frac{8}{10}=<br /> \\-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=<br /> \\\frac{-3+1-3+4}{5}=\frac{-2+1}{5}=-\frac{1}{5}=0,2<br />
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am transformat prima data cele doua fractii zecimale in fractii ordinare, adica 0,2=\frac{2}{10}, am invatat din clasa a V-a ca daca avem o fratie zecimala simpla si vrem sa o transformam in fratie ordinara scriem numarul la numarator iar la numitor 1 urmat de atatea zerourii cate cifre avem dupa numarul respectiv in cazul nostru un singur zerou pentru ca numarul este 0,2.

Dupa ce am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare ,am facut cateva simplificari si am obtinut patru fractii cu acelasi numitor pe care le- am rezolvat astfel:

-am copiat numitorul iar numitorii i-am adunat, rezultatul obtinut l-am transformat in fractie zecimala (am impartit numaratorul la numitor).
Puteam sa rezolvam exercitiul si altfel, adica sa transformam fractiile ordinare in fractii zecimale si calculam.

b) -\frac{14}{32}+3,25+\frac{7}{16}-2\frac{5}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{325}{100}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\-\frac{7}{16}+\frac{13}{4}+\frac{7}{16}-\frac{21}{8}=<br /> \\\frac{1\cdot (-7)+4\cdot 13+1\cdot 7-2\cdot 21}{16}=<br /> \\\frac{-7+52+7-42}{16}<br /> \\\frac{10}{16}=\frac{5}{8}

Ca sa rezolvam exercitiul b, prima data am transformat fratiile zecimale in fractii ordinare si am simplificat pe unde s-a putut, pentru a ne simplifica calculul, iar apoi am adus la acelasi numitor (am gasit numitorul comun si apoi am amplificat fiecare fractie, numitorul il gasim astfel; luam toti numitorii si gasim cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor), si  calculam folosind regulile de calcul cu numere intregi.

c) <br /> 0,5-0,(6)-0,75+2,(3)=\frac{5}{10}-\frac{6}{9}-\frac{75}{100}+\frac{23-2}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{21}{9}=<br /> \\\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{3}=<br /> \\\frac{6\cdot 1-4\cdot 2-3\cdot3+4\cdot 7}{12}=\frac{6-8-9+28}{12}=\frac{-2+19}{12}=\frac{17}{12}=\frac{1}{3}=1\frac{5}{12}m

Am transformat fractiile zecimale simple si fractiile zecimale periodice in fractii ordinare, am simplificat pe unde s-a putut pentru a ne simplifica calculele (prima fractie am simplificat-o prin 5, doua fractie am simplificat-o prin 3, a treia fractie am simplificat-o prin 25, iar ultima fiind o fractie periodica mixta am simplificat-o prin 3), apoi am adus fractiile la acelasi numitor si am efectuat calculele, din rezultatul obtinut am scos intregii din fractie.