Rezolvare ecuatii de gradul al doilea

Sa rezolvam ecuatii de gradul al doilea.

1) Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile:

a) 42:\left(x\cdot x-58\right)+800:\left(10\cdot 28-10\cdot 18\right)=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+800:\left(280-180\right)=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+800:100=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)+8=15\Rightarrow 42:\left(x^{2}-58\right)=15-8\Rightarrow
42:\left(x^{2}-58\right)=7\Rightarrow \frac{42}{x^{2}-58}=7|\cdot \left(x^{2}-58\right)\Rightarrow \frac{42}{x^{2}-58}\cdot\left(x^{2}-58\right)=7\cdot \left(x^{2}-58\right)\Rightarrow
\frac{42}{1}\cdot 1=7x^{2}-7\cdot 58\Rightarrow 42=7x^{2}-406\Rightarrow
42+406=7x^{2}\Rightarrow 7x^{2}=448\Rightarrow x^{2}=448:7\Rightarrow
x^{2}=64\Rightarrow x=\pm\sqrt{64}\Rightarrow x=\pm 8
Deci, solutiiile ecuatiei sunt, +8, -8.

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am efectuat mai intai operatiile de inmultire in parantezele rotunde, apoi am efectuat operatia de impartire dintre numerele intregi, apoi ca sa ne simplificam calculele am inmultit atat membrul drept cat si membrul drept al ecuatiei cu x^{2}-56(pentru a se simplifica numitorul fractiei din membrul stang). Iar in membrul drept am efectuat inmultirile, adica am desfintat paranteza, apoi am separat termenii asemenea, am efecutat adunarea  , iar apoi am impartit prin 7, astfel ca am obtinut o ecuatie de forma x^{2}=a si astfel am obtinut cele doua solutii 8 si -8.

b) \left(y+7\right):3=5\Rightarrow y+7=3\cdot 5\Rightarrow y+7=15\Rightarrow y=15-7\Rightarrow y=8

Ca sa rezolvam ecuatia de mai sus am  folosit Proprietatea fundamentala a proportiilor, adica intr-o proportie  produsul mezilor egla cu produsul extremilor, apoi am efectuat scaderea si astfel am obtinut rezultatul y=8.

2) Doua kg de malai costa cat un kg de orez, iar doua kg de orez costa cat un kg de ciuperci. cat costa 3 kg de orez si 5 kg de malai daca 5 kg de ciuperci costa 60 lei

Solutie:

Mai intai aflam cat costa un Kg de ciuperci si astfel efectuam:
60:5=12
Deci 12 lei costa un Kg de ciuperci

Mai stim si ca
2 Kg malai=1 Kg orez
2Kg orez =1Kg cuperci
Deci 2 Kg de orez costa 12 lei, astfel un Kg costa 12:2=6, deci un Kg de orez costa 6 lei,

Mai stim si ca:

2 Kg malai =1 Kg orez
Deci avem ca 2 Kg malai =6 lei, astfel un Kg de malai costa 6:2=3 lei, astfel am gasit ca  un Kg de malai costa 3 lei.
Astfel 3 Kg de orez si 5 Kg de malai costa:
3\cdot 6+5\cdot 3=18+15=33
Deci in total costa 33 de lei.

Sper ca ati prins ideea despre rezolvare ecuatii de gradul al doilea. Daca nu, este cazul sa mai aprofundati matematica rasfoind articolele de pe site.

Doua probleme rezolvate cu ecuatii si cu Teorema fundamentala a asemanarii

Din seria ” probleme rezolvate cu ecuatii  ” si ” probleme rezolvate cu teorema fundamentala ” prezentam doua astfel de probleme :

Suma a doua numere este 184.Jumatatea primului numar este cu 14 mai mare decat al doilea nr.Care sunt numerele?
Fie a primul numar si b cel de-al doilea numar.
Astfel avem suma celor doua numere 184, adica formam ecuatia
a+b=184
Mai stim si ca jumatatea primului numar este cu 14 mai mare decat al doilea nr.
\frac{1}{2}\cdot a=b+14\Rightarrow a=2\cdot\left(b+14\right)(*)
Acum inlocuim pe a in prima relatie si obtinem
a+b=184\Rightarrow 2\cdot\left(b+14\right)+b=184\Rightarrow 2b+28+b=184\Rightarrow 3b=184-28\Rightarrow 3b=156\Rightarrow b=\frac{156}{3}\Rightarrow b=52
Acum inlocuim in (*) si obtinem
a=2\cdot\left(52+14\right)\Rightarrow a=2\cdot 66\Rightarrow a=132.
Acum sa efectuam proba
a+b=132+52=184, adevarat.

2)In triungiul \Delta SPR, TQ||RP, T\in SP si Q\in SR, ST=3cm, TQ=7 cm, SP=10 cm. Calculati RP.
Demonstratie:

Stim din ipoteza ca TQ||RP, deci in triunghiul SPR aplicam Teorema

Problema rezolvata cu Teorema fundamentala a asemanarii

fundamentala a asemanarii
\frac{ST}{SP}=\frac{QT}{RP}=\frac{SQ}{SR}
Deci daca luam primele doua rapoarte
\frac{ST}{SP}=\frac{QT}{RP}\Rightarrow \frac{3}{10}=\frac{7}{RP}\Rightarrow RP=\frac{10\cdot 7}{3}=\frac{70}{3}\Rightarrow RP=\frac{70}{3}