Model teza clasa a vii a

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul I

Nume:
Prenume
Subiectul I

0, 5 p 1.a)  Dintre numerele a=1,2(31) si b=1,2(3) mai mare este ……

0, 5 p b) Rezultatul calculului \left(-\frac{1}{3}\right)^{2}-0,(5)-\left(-1\frac{1}{3}\right):3 este egal cu …

0, 5 p 2. Fie ABC un triunghi si D\in \left(AB\right), E\in\left(AC\right), DE||BC. Daca \frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}, atunci valoarea raportului \frac{EC}{AC} este egal cu …..

3. Rombul ABCD are m\left(\widehat{A}\right)=30^{0} si AB=36 cm.

0,5 p a) Distanta de la punctul B la dreapta CD este…

1 p b) Aria rombului este egala cu……

0, 5 p 4. Rezultatul calculului a=|1-\sqrt{3}|-\left(\sqrt{3}-2\right)

Subiectul II

1. Calculati

1 p a) \left(5\cdot \sqrt{0,02(7)}+\sqrt{4\frac{21}{25}}\right):0,1(4)-\sqrt{3\frac{1}{16}}

1 p b) \left(2\sqrt{6}+\sqrt{54}\right):\sqrt{6}-\left(8\sqrt{5}-\sqrt{45}\right):\sqrt{5}

1 p 2. Rezolvati ecuatia \left(3\frac{3}{4}-1\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)=6\frac{3}{4}

3. Fie ABCD un trapez dreptunghic, m\left(\widehat{A}\right)=m\left(\widehat{D}\right)=90^{0}, AB=8 cm, CD=4 cm, m\left(\widehat{ABC}\right)=45^{0}, iar M mijlocul lui [AB]

1 p a) Aratati ca triunghiul CMB este dreptunghic isoscel

1 p b) Aratati ca patrulaterul AMCD este patrat

0,5 p c) Calculati aria trapezului ABCD

Teorema lui Thales

Ca sa intelegem Teorema lui Thales trebuie sa stim cand doua rapoarte sunt proportionale. Mai intai trebuie sa stim ce conditie trebuie sa  punem , adica :

Segmentele  \left[AB\right], \left[BC\right], \left[CD\right]  sunt proportionale cu segmentele \left[A'B'\right], \left[B'C'\right], \left[C'D'\right], daca  lungimile lor exprimate cu aceeasi unitate de masura sunt proportionale.

 

\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}

Obs: Raportul a doua segmente este raportul lungimilor exprimate cu aceeasi unitate de masura.

Raportul a doua segmente nu depinde de  unitatea de masura aleasa.

Teorema lui Thales

O paralelea dusa  la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi (sau pe prelungirile acestora)  segmente proportionale.

Fie triunghiul ABC si DE|| BC astfel incat D\in AB, E\in AC

Cum aplicam teorema lui Thales intr-un triunghi
DE||BC rezulta
\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Obs: Concluzia teoremei lui Thales, scrisa pe baza figurii de mai sus poate fi scrisa folosind proportii derivate. Pentru a le retine mai usor, observati corepondenta punctelor de pe o latura cu cele de pe cealalta latura: A\rightarrow A, D\rightarrow E, B\rightarrow C, astfel se pot forma 6 proportii:

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}, \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE},\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC},\frac{DB}{DA}=\frac{EC}{EA}, \frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CE}, \frac{BD}{BA}=\frac{CE}{CA}.

Problema:

In triunghiul  MNP, R\in MN, MN=8 cm, MF=10 cm si ME=12 cm.

Calculati:

MP, daca  MT+MP= 24 cm, MN=14 cm, RN=10 cm

Dem:

Teorema lui Thales aplicatie
Daca aplicam teorema lui Thales cu ajutorul proportiilor derivate obtinem:
\frac{MR}{MN}=\frac{MT}{MP}
Stim si ca MT+MP=24 cm, rezulta ca MP=24-MT Stim si ca MN=MR+RN, rezulta ca 14 cm=MR+10 cm, deci MR=14cm- 10 cm, MR=4 cm.
Inlocuind mai sus cu datele pe care le stim obtinem:
\frac{4}{14}=\frac{MT}{24-MT} \Rightarrow 4\cdot\left(24-MT\right)=14\cdot MT\Rightarrow
96-4\cdot MT=14MT\Rightarrow 14MT+4MT=96\Rightarrow 18MT=96 cm \Rightarrow MT=96:18\Rightarrow MT=\frac{96}{18} =\frac{16}{3}cm.
Stim ca MT+MP=24 cm \Rightarrow \frac{16}{3} cm+MP=24 cm\Rightarrow MP=24-\frac{16}{3} cm\Rightarrow MP=\frac{24\cdot 3-1\cdot 16}{3}-\frac{72-16}{3}=\frac{56}{3} cm
Deci  este important sa intelegem cum sa aplicam teorema lui Thales, dar si proportiile derivate.