Model Lucrare scrisa clasa a XII a

Lucrare scrisa la matematica pe semestrul al doilea

Nume:

Prenume:

Subiectul I
1. Sa se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice \left(b_{n}\right)_{n\geq 1} stiind ca primul termen este egal cu 1 si ratia este q=-2
2. Se considera functia f:\left(0,+\infty\right)\rightarrow R, f\left(x\right)=2^{x}+\log_{3}x. Sa se calculeze: f\left(1\right)+f\left(3\right)
3.Sa se rezolve ecuatia \lg^{2} x+4\lg x+3=0
4. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei: f\left(x\right)=4x^{2}-12x+9
5. Sa se determine m\in R pentru care distanta dintre punctele: A\left(2,m\right), B\left(-m,-2\right) este egal cu 4\sqrt{2}
6. Stiind ca triunghiul ABC are BC=10 cm, AC= 5cm si AB=5\sqrt{3}. Sa se calculeze \cos A

Subiectul II
1. In multimea polinoamelor R\left[X\right] se considera polinoamele:
f=X^{3}+mX^{2}+nX+6 si g=X^{2}-x-2
a) Sa se rezolve ecuatia x^{2}-x-2=0
b) Sa se determine m, n\in R astfel incat polinomul f sa se divida cu polinomul g.
c) Pentru m=-4 si n=1 sa se calculeze produsul
P=f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)\cdot...\cdot f\left(2014\right)
Subiectul III
1. Se considera functia f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x}
a) Sa se calculeze f^{'}\left(x\right), f^{''}\left(x\right), x\in R
b) Sa se arate ca f\left(x\right)\leq 1, \forall x\in R
c) Sa se determine ecuatia asimptotei spre +\infty la graficul functie f.

2. Se considera functia f:\left[0,1\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=x\cdot \sqrt{2-x^{2}}
a) Sa se calculeze \int^{1}_{0}f^{2}\left(x\right)
b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatie x=0 si x=1
c) Sa se calculeze \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\int^{x}_{0}f\left(t\right) dt}{x^{2}}}

Aplicatii ale integralei definite Aria unei suprafete plane

Dupa ce am invatat sa calculam integralele definite cu ajutorul mai multor metode,a venit vremea sa stim unde putem sa le aplicam in practica. Astfel,astazi discutam despre aplicatii ale integralei definite, aria unei suprafete plane si
aria unei suprafete marginita de grafice de functii .
Incepem prin a enunta o teorema cu ajutorul careia o sa rezolvam mai multe exercitii:
Fie functiile f,g:\left[a,b\right]\rightarrow R continue sau continue pe portiuni. Presupunem ca g\left(x\right)\leq f\left(x\right), \forall x\in \left[a, b\right]. Suprafata dintre graficele functiilor f si g pe \left[a,b\right] este
\Gamma=\left\{\left(x,y\right)|a\leq x\leq b\;\; sig\left(x\right)\leq y\leq f\left(x\right)\right\}.
Aria suprafetei este \Gamma este
\int^{a}_{b}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx
In particular daca f:\left[a,b\right]\rightarrow R este continua si f\left(x\right)  \geq 0, \forall x\in\left[a,b\right], atunci suprafata
\Gamma{f}=\left\{\left(x, y\right)\in R^{2}|a\leq x\leq b\;\; si \;\; 0\leq y\leq f\left(x\right)\right\} are arie si A\left(\Gamma_{f}\right)=\int^{b}_{a}f\left(x\right)dx
Exercitiu
1) Sa se determine aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei f si axa Ox pentru
a) f:\left[0,1\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+4x+8}
Solutie
f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+4x+8}\geq 0, \forall x\in\left[0,1\right]\Rightarrow
A\left(\Gamma_{f}\right)=\int^{1}_{0}\frac{1}{x^{2}+4x+8} dx=
Ca sa rezolvam integrala de mai sus calculam
x^{2}+4x+8=0  \\ \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=16-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16<0
Deci pentru a rezolva integrama de mai sus scriem:

\int^{1}_{0}\frac{1}{x^{2}+4x+8} dx=\int^{1}_{0}\frac{1}{x^{2}+4x+4+4}dx=\int^{1}_{0}\frac{1}{\left(x+2\right)^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2}arctan\frac{x+2}{2}|^{1}_{0}=\frac{1}{2}\left(arctan\frac{1+2}{2}-arctan\frac{0+2}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(arctan\frac{3}{2}-arctan\frac{2}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(arctan\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}arctan\frac{3}{2}-\frac{\pi}{8}.
b) f:\left[1, e\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=\ln x
Functia
f\left(x\right)=\ln x\geq 0,\;\; \forall x\in \left[1, e\right]\Rightarrow
A\left(\Gamma_{f}\right)=\int^{e}_{1}\ln x dx=\int^{e}_{1} x^{'}\cdot \ln x dx=
x\cdot\ln x|^{e}_{1}-\int^{e}_{1}x\left(\ln x\right)^{'}dx=
e\cdot \ln e-1\ln 1-\int^{e}_{1}x\cdot\frac{1}{x}dx=
e-1\cdot 0-\int^{1}_{e} dx=e-x|^{e}_{1}=1
c) f,g:\left[0,4\right]\rightarrow R, f\left(x\right)=-\sqrt{x}, g\left(x\right)=\sqrt{x}
Solutie
Fie h:\left[0,4\right]\rightarrow R, h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)=-\sqrt{x}-\sqrt{x}=-2\sqrt{x}<0\;\; \forall x\in\left[0,4\right]\Rightarrow f\left(x\right)\leq g\left(x\right), \forall x\in \left[0, 4\right]
Atunci avem
A\left(\Gamma{f,g}\right)=\int^{4}_{0}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=
\int^{4}_{0}\left(\sqrt{x}-\left(-\sqrt{x}\right)\right)dx=\int^{4}_{0}\left(\sqrt{x}+\sqrt{x}\right)dx=
\int^{4}_{0} 2\cdot \sqrt{x} dx=2\int^{4}_{0}\sqrt{x} dx=2\int^{4}_{0}x^{\frac{1}{2}}dx=
2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}|^{4}_{0}=
2\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{4}_{0}=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}|^{4}_{0}=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{x^{3}}|^{4}_{0}=\frac{2}{3}\left(\sqrt{4^{3}}-\sqrt{0^{3}}\right)=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot 2=
2\cdot \frac{2}{3}\cdot 8=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}

2) Calculati aria multimii plane:
A=\left\{\left(x,y\right)|-1\leq x\leq 1\;\; si\;\; \frac{x^{2}}{2}\leq y\leq \frac{1}{1+x^{2}}\right\}
Solutie
Conform primei teoreme pe care am enuntat-o avem ca
1, si -1 sunt capetele intervalului, adica avem functiile f si g
f, g:\left[-1, 1\right]\rightarrow R, g\left(x\right)=\frac{1}{1+x^{2}}\;\; si f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}, astfel avem din ipoteza ca functia
f\left(x\right)<g\left(x\right),\;\;\forall x\in \left[-1, 1\right]
Astfel
A\left({\Gamma_{f,g}}\right)=\int^{1}_{-1}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\int^{1}_{-1}\left(\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{x^{2}}{2}\right)dx=\int^{1}_{-1}\left(\frac{2-\left(1+x^{2}\right)\cdot x^{2}}{2\left(1+x^{2}\right)}\right) dx=  \int^{1}_{-1}\frac{2-x^{2}-x^{4}}{2\left(1+x^{2}\right)}dx=\int^{1}_{-1}\frac{2}{2\left(1+x^{2}\right)}dx-\int^{1}_{-1}\frac{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}{2\left(1+x^{2}\right)}dx=\int^{1}_{-1}\frac{1}{1+x^{2}}dx-\int^{1}_{-1}x^{2}dx=\frac{1}{1}arctan{x}{1}|^{1}_{-1}-\frac{x^{2+1}}{2+1}|^{1}_{-1}=arctan{1}-arctan{-1}-\frac{x^{3}}{3}|^{1}_{-1}=\frac{\pi}{4}-\frac{-\pi}{4}-\frac{1}{3}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{4}-\frac{2}{3}=\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}