Aplicatii ale trigonometriei in geometria plana Produsul scalar doi vectori

Astazi o sa invatam cum ne ajuta functiile trigonometrice in rezolvarea problemelor din geometria plana.

Astfel incepem cu produsul scalar a doi vectori.

Definitie: Se numeste produsul scalar a doi vectori \vec{a} si \vec{b} numarul \vec{a}\cdot\vec{b} egal cu produsul modulelor vectorilor inmultit cu cosinusul unghiului celor doi vectori.

\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos{a,b}

Iar cosinusul unghiului celor doi vectori este: \cos{a, b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}

Proprietati:

1) Produsul scalar a doi vectori este nul, daca  unul dintre vectori este nul sau daca cei doi vectori sunt ortogonali.

2)  Daca \vec{a}, \vec{b} sunt vectori nenuli, atunci \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0

Expresia analitica a produsului sclar este:

Fie \left(O,i,j\right) un reper cartezian. In acest reper vectorii \vec{a} si \vec{b} se descompun sub forma:

\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j} si \vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}

Deoarece \vec{i}\cdot\vec{i}=1,\vec{j}\cdot\vec{j}=1,\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}\right)\cdot\left(b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}\right)= a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} (expresia analitica a produsului scalar).

Acum doi vectori nenuli \vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j} si \vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j} sunt perpendiculari daca si numai daca a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0

Iar cosinusul unghiurilor a doi vectori in functie de coordonatele acestora este \cos{\widehat{\vec{a}, \vec{b}}}=\frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}}{\sqrt{a^{2}_{x}+a^{2}_{y}}\cdot \sqrt{b^{2}_{x}+b^{2}_{y}}}

Daca stim coordonatele a doua puncte putem afla mai usor distanta dintre doua puncte.

Teorema. Fie A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2},y_{2}\right) puncte in reperul cartezian \left(O,\vec{i}, \vec{j}\right)

Atunci AB=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}

Teorema cosinusului.  Intr-un triunghi ABC au loc egalitatile AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C

Sau

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A

Sau AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B

Teorema sinusurilor.  Intr-un triunghi oarecare au loc egalitatile \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R unde R este raza.

Prezentam anumite exercitii prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

1) Sa se determine m\in R pentru care vectorii a, si b sunt perpendiculari:

a) \vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{b}=\left(m+1\right)\vec{i}+2\vec{j}

Observam ca vectorii sunt exprimati sub forma analitica.

Astfel vectorii a si b sunt perpendiculari daca

2\cdot\left(m+1\right)+1\cdot 2=0\Rightarrow 2m+2+2=0\Rightarrow 2m+4=0\Rightarrow m=\frac{-4}{2}=-2

\vec{a}=\left(m^{2}+3\right)\vec{i}+m\vec{j}, b=\vec{i}-4\vec{j}

Astfel punem conditia ca \left(m^{2}+3\right)\cdot 1+m\cdot\left(-4\right)=0\Rightarrow m^{2}+3-4m=0\Rightarrow m^{2}-4m+3=0

Observati ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea.

Astfel calculam Delta \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4

Deci m_{1}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3

Dar si m_{2}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

Deci m\in\left\{1,3\right\}

2) Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca \vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)
Demonstratie:
cum demonstram o egalitate in mod vectorial
Daca aplicam relatia lui Chasles obtinem ca:
\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=-\vec{AB}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}

Daca ridicam relatia de mai sus la patrat obtinem:
\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}|^{2}\Rightarrow \vec{BC}^{2}=\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)^{2}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{AB}^{2}\Rightarrow 2\cdot\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AC}^{2}+\vec{AB}^{2}-\vec{BC}^{2}\Rightarrow 2\cdot \vec{AB}\cdot\vec{AC}=b^{2}+a^{2}-c^{2}\Rightarrow \vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)(1)

Analog pentru \vec{BA}\cdot\vec{BC}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)(2)

Dar si \vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)(3)
Din (1), (2) si (3) obtinem \vec{AB}\cdot \vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}+c^{2}+b^{2}-a^{2}+c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+c^{2}+a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

3) Sa se determine unghiul vectorilor:
\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j},\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}
Ca sa afla unghiul vectorilor folosim formula:
\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=\frac{a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\cdot\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}=\frac{2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2}{\sqrt{2^{2}+\left(-1\right)^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{2-2}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{1+4}}=\frac{0}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{0}{5}=0
deci obtinem ca
\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=0
De unde obtinem ca cos \frac{\pi}{2}=0\Rightarrow m\left(\widehat{a,b}\right)=\frac{\pi}{2}=90^{0}

Deci masura unghiului dintre cei doi vectori este de 90^{0}